Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
48
2.Modeleukładówdynamicznychzczasemciągłym–równaniastanu
czylileżaływlewejpółpłaszczyźniepłaszczyznyGaussa.Wartościwłasnesąpierwiast-
kamiwielomianucharakterystycznegomacierzystanu
.
Istniejąlicznekryteriazwanealgebraicznymikryteriamistabilności,którepozwalają
wyrokowaćoliczbiepierwiastkówwielomianu
wlewejiprawejpółpłaszczyź-
nienapodstawiebadaniawspółczynników
tegowielomianu.Prostymwarunkiem
koniecznymdotego,abywszystkiepierwiastkiznajdowałysięwlewejpółpłaszczyźnie,
jestdodatniośćkażdegozewspółczynników
.
Stabilnośćukładuzniediagonalizowalnąmacierząstanu
Wprzypadkuniediagonalizowalnejmacierzystanu,zgodniez(2.44),(2.43),koniecznym
idostatecznymwarunkiemzanikaniawszystkichuogólnionychmodówjestdążeniedo
zerafunkcjipostaci
(
jestmniejszeodkrotnościwartościwłasnejwklatceJor-
dana),adotegowarunek(2.70)jesttakżekoniecznymiwystarczającym-przywarunku
(2.70)
dążydozeraostatecznieszybciejniż
rośnie.
Wnioskizpołożeniawartościwłasnych
Lewapółpłaszczyznapłaszczyznyliczbzespolonychjestnazywanaobszaremstabilno-
ściliniowegoukładudynamicznegozczasemciągłym.
Jakwidać,stabilnośćukładujestcechązdeterminowanąwyłącznieprzezmacierz
stanu,częstomówisięwięcostabilnejmacierzy
,jeślimaonawszystkiewartości
własnewlewejpółpłaszczyźniepłaszczyznyliczbzespolonych.
Znajomośćwartościwłasnychmacierzystanupozwalanietylkorozstrzygnąć,czy
układjeststabilny(jest,jeżeliwszystkiewartościwłasneleżąwlewejpółpłaszczyźnie),
aletakżeocenić,jakszybkowektorstanudążydozerowegopunkturównowagi.Wprzy-
padkudiagonalizowalnejmacierzystanu,zgodniez(2.69)i(2.38),najwolniejzanikaten
mod(funkcja
),wktórym
jestnajmniejszy,czyli
leżynajbliżejosiliczb
urojonych-granicyobszarustabilności.Wartość
jestnazywanastałączasową
modu.Punktrównowagijestosiąganydla
,alenaprzykładpopięciustałychczaso-
wychfunkcja
osiągawartość
,czyliponiżej1%wartościpoczątkowej,
apodziesięciu
Analizamodówukładu(analizamodalna)pozwala(jakpokazanowcześniej)na
uzyskaniewieluinnychinformacjiotrajektoriachukładu-naprzykład,czyprzebiegi
sąaperiodyczne(jeśliwartościwłasnesąrzeczywiste),czyoscylacyjne(jeśliwystępują
zespolonewartościwłasne),jakiesączęstotliwościtychoscylacji(określoneprzezczęści
urojonewartościwłasnych),czywystępujątrajektorieprostoliniowe(tak,jeślisąrzeczy-
wistewektorywłasne).
Jeżelidiagonalizowalnamacierzstanumawartościwłasnenaosiurojonych(nagranicy
obszarustabilności),toodpowiedźswobodnaukładudążydopunkturównowagiinnego
niż
(jeśliwartościąwłasnąjestzero-jaknarys.2.2c)lubdotrajektoriigenerują-
