Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
78
2.RównanieSchrödingera
WstawmytodorównaniaSchrödingerazależnegoodczasu.Lewastrona
równasię
(ˆ
H(0)+ˆ
V)ψ=Σ
cn(ˆ
H(0)+ˆ
V)ψ(0)
n
=Σ
cn(E
n
(0)
+ˆ
V)ψ(0)
n,
n
n
aprawastronarównaniaSchrödingera:
i¯
h
∂ψ
∂t
=i¯
hΣ
n
ψ(0)
n
∂cn
∂t
+cn
∂ψ(0)
∂t=Σ
n
n
i¯hψ(0)
n
∂cn
∂t
+cnE
nψ(0)
(0)
n.
Porównanieobustrondoprowadzadouproszczeniaidostajemyrównanie
Schrödingerawnowejpostaci:
Σ
n
cnˆ
Vψ(0)
n
=Σ
n
i¯
h
∂cn
∂tψ(0)
n.
Mnożączlewejstronyprzezψ
k
(0)∗
icałkując,otrzymujemy
Σ
n
cnVkn=i¯
h
∂ck
∂t
,
dla
k=1,2,...,N,
N
(2.17)
przyczym
Vkn=(ψ
k|ˆ
(0)
Vψ(0)
n).
(2.18)
UzyskanewzorysąwpełnirównoważnezrównaniemSchrödingera.Sąto
równaniaróżniczkowe,którelubimypodwarunkiem,żesumowanienierozciąga
siędonieskończoności32.Wpraktycznychobliczeniach,niestety,musimyztej
nieskończonościzrezygnować33.Jeślizałożonaliczbaczłonówwsumieniejest
zbytduża,towdobiekomputerówrozwiązanietegorównaniajestmożliwe(choć
pojawiająsięproblemyzwiązanezkrokiemcałkowaniaisposobemwłączenia
zaburzenia).
2.4.1.MODELDWUSTANOWY
Rozpatrzmymodeldwustanowy(por.dodatekD)zdwiemafunkcjamiwłasnymi
(|φ
iE
1)≡|1)i|φ
(0)
2:
(0)
2)≡|2))hamiltonianuˆ
(0)
H(0)=|1)E(0)
ˆ
1
(1|+|2)E
H(0),odpowiadającymienergiomE
2
(0)
(2|
1
(0)
32Tymczasempowinnosięonorozciągaćdonieskończoności,botylkowtedysąonerównoważne
zrównaniemSchrödingera.
33Typowepostępowanieprzyrozwijaniunanieskończonyukładzupełnyfunkcji(tzw.przybliżenie
algebraiczne).
