Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.ZasadanieoznaczonościHeisenberga
31
Indeterminizmpojawiasięwprzestrzenifizycznej,natomiastwprze-
strzenistanów(możliwychfunkcjifalowych)wszystkojestdetermini-
styczne,bopodlegaewolucjijednoznacznieprzewidzianejprzezrówna-
nieSchrödingerazależneodczasu[równ.(1.8)].
Wjaktajemniczysposóbprzejawiasięwspomnianyindeterminizm,zoba-
czymywdalszejczęścitegorozdziału.
1.3.ZASADANIEOZNACZONOŚCIHEISENBERGA
Weźmydwiewielkościmechaniczne,którychoperatoryhermitowskie(por.Postu-
latII),odpowiednio,ˆ
Aiˆ
Bdająkomutator[ˆ
A,ˆ
B]=ˆ
Aˆ
B–ˆ
Bˆ
A=±iˆ
h.Operator
hjestwtedyoperatoremhermitowskim50.Takjestnaprzykładdlaoperatorów
ˆ
współrzędnejxisprzężonegozniąpędupx.Istotnie,dladowolnejróżniczkowal-
nejfunkcjiφmamy:[ˆ
x,ˆ
px]φ=–xi¯
hφ,+i¯
h(xφ),=+i¯
hφ,awtedy,oczywiście,
[ˆ
px,ˆ
x]=–i¯
hioperatorˆ
htopoprostumnożenieprzezliczbę¯
h.
Możnaudowodnićnapodstawieaksjomatówmechanikikwantowej,że
iloczynbłędów(wsensieodchyleniastandardowego)pomiarutychdwóch
wielkościmechanicznychjestwiększylubrówny¯
h/2.
JesttoznanejakozasadaHeisenberga.WernerHeisenbergnieprzeprowa-
dziłformalnegodowodu,aleprzeanalizowałeksperymentmyślowyzelektronem
oddziałującymzfaląelektromagnetyczną(„mikroskopHeisenberga”).Niejestja-
sne,czypodejścieformalnei„mikroskopHeisenberga”dająwpełnirównoważne
sformułowaniazasadynieoznaczoności.
DowódzasadynieoznaczonościHeisenbergaprzeprowadzasięnastępująco.
Przypomnijmysobiedefinicjęwariancji,czylikwadratuodchyleniastandar-
dowego(∆A)2pomiarówwielkościmechanicznejA:
(∆A)2=(A2)–(A)2,
(1.20)
czyliśrednia(oznaczonanawiasami())pomiarówkwadratuwielkościAmi-
nuskwadratśredniejzpomiarówA.Odchyleniestandardowe∆Ajestmiarą
50Istotnie,możemyzapisać–ˆ
h=±i[ˆ
A,ˆ
B]iwtedypokazujemyhermitowskośćˆ
hpoprzezciąg
równości–(f|ˆ
hg)=±i(f|[ˆ
A,ˆ
B]g)=±i(f|(ˆ
Aˆ
B–ˆ
Bˆ
A)g)=±i((ˆ
Bˆ
A–ˆ
Aˆ
B)f|g)=(±i(ˆ
Aˆ
B–
–ˆ
Bˆ
A)f|g)=–(ˆ
hf|g).
