Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
62
2.RównanieSchrödingera
Mamywięcniezmienniczośćhamiltonianuzewzględunadowolneobro-
tywokółpoczątkuukładuwspółrzędnych.Oznaczato(patrzdodatekF)
komutacjęhamiltonianuioperatorakwadratucałkowitegomomentupę-
duukładuˆ
J2(takżejednejzeskładowych,umownieˆ
Jz),cozkoleidaje
możliwośćjednoczesnegopomiaruenergii,kwadratucałkowitegomo-
mentupędu,atakżejednejzeskładowychmomentupędu,przyczym
mamy
J2ΨN(r,R)=J(J+1)¯
ˆ
h2ΨN(r,R),
(2.6)
JzΨN(r,R)=MJ¯
ˆ
hΨN(r,R),
(2.7)
gdzieJ=0,1,2,...,aMJ=–J,–J+1,...,+J.
Każdamacierzobrotudasięprzedstawićjakoiloczynwieluobrotów„ele-
mentarnych”,każdydookołaosixluby,lubz.Naprzykładjedenobrótokątθ
dookołaosiyodpowiadamacierzy
{
\
sinθ
cosθ
0
0
1
0
–sinθ
cosθ
0
x
)
.
Zasadabudowytakichmacierzypolegawięcnaustawieniuwodpowiednichmiej-
scachcosinusów,sinusów(zodpowiednimiznakami8),jedynekizer.Takama-
cierzjestortogonalna9,tzn.UT=U–1,cosprawdzasiębłyskawicznie.Iloczyn
macierzyortogonalnychAiBjestteżmacierząortogonalną,złożenietakich
obrotówjestwięcprzekształceniemortogonalnym.
2.1.4.NIEZMIENNICZOŚĆWZGLĘDEMPERMUTACJI
IDENTYCZNYCHCZĄSTEK(FERMIONY/BOZONY)
Hamiltonianmajeszczesymetriępermutacyjną.Spróbujmywyjaśnić,naczym
onapolega.Wyobraźmysobie,żedwómuczonymAbackiemuiBabackiemu,
dajemyrysunekzwidocznymielektronamiijądramiiprosimyodowolnepo-
8Obrótzgodnyiprzeciwnyzruchemwskazówekzegaraidwamożliweznakiprzysinusachwma-
cierzypowodują,żezapamiętaniepoprawnejkombinacjimożestanowićproblem.Wceluwybrania
poprawnejkombinacjiumawiamysię,żebędziemyobracaćprzedmiot(np.funkcję),anieukładwspół-
rzędnych.Sięgamywięcporys.2.1aistwierdzamy,żeobrótpunktuowspółrzędnych(1,0)okąt
θ=900powiniendaćpunkt(0,1),atozapewniatylkomacierzobrotu:cosθ–sinθ
sinθ
cosθ
.
9Takżeiunitarna(zob.dodatekA).
