Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Symetriahamiltonianuijejkonsekwencje
59
H=ˆ
ˆ
Tn+ˆ
Te+ˆ
V,
(2.1)
gdzieoperatoryenergiikinetycznejjąderielektronówto(wj.at.)odpowiednio:
Tn=–
ˆ
1
2
Σ
I=1
M
mI
1
∆I,
Te=–
ˆ
1
2
Σ
i=1
N
∆i,
(2.2)
(2.3)
przyczym
∆I=
∆i=
∂X2
∂x2
∂2
∂2
i
I
+
+
∂y2
∂Y2
∂2
∂2
i
I
+
+
∂z2
∂2
∂Z2
∂2
i
,
I
,
RI=(XI,YI,ZI)
ri=(xi,yi,zi),
x,y,zsąwspółrzędnymikartezjańskimicząstek.
Operatorˆ
Velektrostatycznegooddziaływaniająder,elektronówzjądrami
orazelektronówto:
V=
ˆ
Σ
J>I
M
|RI–RJ|
ZIZJ
–
Σ
I=1
M
Σ
i=1
N
|ri–RI|
ZI
+
Σ
j>i
N
|ri–rj|
1
,
(2.4)
cowuproszczonejformiepiszemyzwyklejako
V=
ˆ
J>I
Σ
M
ZIZJ
RIJ
–
Σ
I=1
M
Σ
i=1
N
ZI
riI
+
Σ
j>i
N
rij
1
.
(2.5)
Jeślihamiltonianokazałbysięniezmienniczyzewzględunajakąśoperacjęˆ
U
dotyczącąprzestrzeni(translację,obrótukładuwspółrzędnychitp.),oznaczałoby
tokomutowanieˆ
Uiˆ
H.Towłaśniebędziemyzachwilęsprawdzać.
2.1.2.NIEZMIENNICZOŚĆWZGLĘDEMTRANSLACJI
Translacjafunkcjif(r)≡f(x,y,z)wprzestrzeniowektorT—tofunkcja
Uf(r)=f(ˆ
ˆ
U–1r)=f(r–T),czyliinaczejprzesunięciewprzeciwnąstronę
(owektor–T)układuwspółrzędnych(rys.2.3).
Transformacjar,=ˆ
Ur=r+Tniezmieniapostacihamiltonianu.Jestto
oczywistedlaenergiipotencjalnejˆ
V,boprzesunięciaTznosząsię,zostawiając
odległościcząstekbezzmiany.Dlaenergiikinetycznejszybkotootrzymamy,bo
∂x,
∂
=Σ
σ=x,y,z
∂x,
∂σ
∂σ
∂
=
∂x,
∂x
∂x
∂
=
∂x
∂
,
aztakichoperatorówzłożymyoperatoryenergiikinetycznychwszystkichcząstek.
