Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.Konstrukcjamnogościowazmiennejilościowej
3.Konstrukcjamnogościowa
zmiennejilościowej
Załóżmy(Nowak,L.,1974,s.9–10),żedanyjest
zbiórprzedmiotówU(np.osób).Zbiórtenjest
częściowouporządkowanyprzezrelacjęS,która
jestprzeciwsymetrycznaiprzechodniawtym
zbiorze,aleniejestspójna.Możnawięcwzbiorze
Uwyróżnićprzedmioty,międzyktórymirelacjaS
niezachodzi.Międzytymiprzedmiotamizachodzi
natomiastrelacjanieodróżnialnościQpodwzglę-
demS:
xQywtedyitylkowtedy,gdyniejesttak,że
xSyiniejesttak,żeySx.
JeżelichodziorelacjęQ,zakładasię,żejest
onazwrotna,symetrycznaiprzechodniawzbio-
rzeU.JestwięcQrelacjąrównościowąwtymzbio-
rze.Zachodzionamiędzytymiprzedmiotami,
pomiędzyktóryminiezachodziwyjściowarelacja
S.JeżeliUjestnp.zbioremosób,torelacjączęścio-
woporządkującątenzbiórmożebyćrelacjaS:Uby-
ciabardziejinteligentnymniż...”.Porządkujeona
zbiórosóbwedługstopnia,wjakimkażdejznich
przysługujecechaUinteligencji”odosobynaj-
mniejinteligentnejdonajbardziejinteligentnej.
RelacjaUbyciabardziejinteligentnymniż...”nie
zachodzipomiędzytymiosobami,którerów-
nointeligentne(cechaUinteligencji”przysługuje
imwtymsamymstopniu).Zachodzimiędzynimi
relacjanieodróżnialnościQ,którajeststosunkiem
Urównointeligencji”;dwieosobyxiyrównoin-
teligentnewtedyitylkowtedy,gdyaniosobaxnie
jestbardziejinteligentnaodosobyy,aniosobay
niejestbardziejinteligentnaodosobyx.
OrelacjiQpowiemy,żedzielionarozważany
zbiórUnaklasyabstrakcji.Klasyabstrakcjista-
nowiąpodzbiory(grupy)osób,którerównoin-
teligentne.Międzyelementamikażdejtakiejgru-
pyniezachodziwyjściowarelacjaUbyciabardziej
inteligentnymniż...”.Ogólnieokreślamypojęcie
klasyabstrakcjiwsposóbnastępujący.Niechxna-
leżydoU(pamiętajmy,żejestnanimokreślona
relacjarównościowaQ).Symbolem[x]
Qoznaczamy
klasęabstrakcjizewzględunarelacjęQwyzna-
czonąprzezelementx.Mamyzatemdlakażdego
elementuynależącegodozbioruU:y[x]
Q=xQy,
coczytamy:ynależydoklasyabstrakcji[x]
Qwtedy
itylkowtedy,gdyyjestrównyxpodwzględemQ
(wnaszymprzykładzie,gdyyjestrównointeligent-
nyzx).Wdanymzbiorzemożemywyróżnićtyle
różnychklasabstrakcji,ilemożnawnimwyróżnić
jednolitych(homogenicznych)podzbiorówelemen-
tów,którymdanacechaprzysługujewtymsamym
stopniu.Podzbiorytesą,oczywiście,rozłączne(nie
mająelementówwspólnych)iwsumiedajązbiórU.
OznaczmysymbolemAzbiórklasabstrakcji
odrelacjiQ.NazbiorzeAdanajestrelacjawyprze-
dzaniageneralnegoS’.NiechZiZ
jdowolnymi
klasamiabstrakcji.Wobectegomamy:
Z
iS’Z
jwtedyitylkowtedy,gdydlakażdegoxze
zbioruZ
xidlakażdegoyzezbioruZ
yjest:xSy.
ZatemrelacjaSzachodzimiędzyprzedmiota-
minależącymidoróżnychklasabstrakcji,relacja
Qmiędzyelementaminależącymidotejsamej
klasyabstrakcji,relacjaS’zaśmiędzysamymi
klasamiabstrakcji.Schematycznieprzedstawiato
rycina2.1.
RYGINA2.1.IlustracjazachodzenianazbiorzeUrelacji
S’iQ
NiechdanybędziepodzbiórRzbioruliczbrze-
czywistych,któryjestuporządkowanyprzezrela-
cjęmniejszości(<).Funkcjęokreślonąnazbiorze
przedmiotówUiprzybierającąwartościwzbiorze
Rnazywaćbędziemyfunkcjąskalującą(s)zbiór
przedmiotówU.Spełniaonawarunek:
dladowolnychx,yzezbioruU:jeżelixiy
należądoZ
i,tos(x)=s(y).
RodzinęklasabstrakcjiAuporządkowaną
przezrelacjęwyprzedzaniageneralnegoS’nazy-
waćbędziemyzmiennąilościowąwtedyitylko
wtedy,gdyistniejetakipodzbiórliczbrzeczywi-
stychRuporządkowanyprzezrelacjęmniejszości
<orazfunkcjaskalującas,żedlakażdegoxna-
leżącegodozbioruZ
iidlakażdegoynależącego
dozbioruZ
jzachodzi:
s(x)<s(y)wtedyitylkowtedy,gdyZ
iS’Z
j.
Jesttokonstrukcjawzorowananakonstrukcji
wielkościpodanejprzezL.Nowaka(1974).
KlasyabstrakcjiskładającesięnazbiórAto
wartościzmiennej,natomiastelementypodzbio-
ruRtomiaryzmiennej.
29