Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ROZDZIAŁ2
Praktyczniealgorytmwyznaczeniauogólnionejmacierzyodwrotnejnieopie-
rasięnadefinicji,anawzorze:
A
+=VD+UTj
(2.47)
gdzie
UjD
i
V
towartościosobliwedekompozycji
A
,natomiastuogólnioną
odwrotność
D+
diagonalnejmacierzy
D
otrzymujemy,biorącodwrotność
jejniezerowychelementów,anastępnietransponującmacierzwynikową.
Gdy
A
mawięcejkolumnniżwierszy,rozwiązanierównanialiniowego
zapomocąuogólnionejmacierzyodwrotnejdajejednozwielumożliwych
rozwiązań.Konkretniedajetospośródwielurozwiązań
x
=
A+y
,którema
najmniejszązewszystkichnormęeuklidesową
||x||2
.Gdy
A
mawięcejwierszy
niżkolumn,możliwe,żeniemażadnegorozwiązania.Wtakimprzypadku
zastosowanieuogólnionejmacierzyodwrotnejdajewartość
x
,dlaktórej
Ax
jestmożliwienajbliższeywsensienormyeuklidesowej||Ax−y||2.
2.10.Operatorśladowy
Operatorśladowydajesumęwszystkichelementównaprzekątnejmacierzy:
Tr(A)=Σ
ź
Aź,ź.
(2.48)
Operatorśladowyjestprzydatnyzwielupowodów.Niektóredziałania,
któresątrudnedookreśleniabezsprowadzeniadooperacjidodawania,można
określićzapomocąiloczynumacierzyioperatoraśladowego.Naprzykład
operatorśladowydajealternatywnysposóbzapisunormyFrobeniusadla
macierzy:
||A||F=JTr(AAT).
(2.49)
Pisaniewyrażeniawkontekścieoperatoraśladowegootwieramożliwo-
ścimanipulowaniawyrażeniemzapomocąwieluużytecznychtożsamości.
Naprzykładoperatorśladowyjestniezmiennywzględemoperatoratranspo-
zycji:
Tr(A)=Tr(AT).
(2.50)
Śladmacierzykwadratowejskładasięzwieluczynnikówiteżjestnie-
zmiennywzględemprzeniesieniaostatniegoczynnikanapierwsząpozycję,
jeślikształtyodpowiednichmacierzypozwalająnazdefiniowaniepowstałego
iloczynu:
Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA)
(2.51)
44
