Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ALGEBRALINIOWA
lubbardziejogólnie:
n
n11
Tr(
Π
F(ź))=Tr(F(n)
Π
F(ź)).
źl1
źl1
(2.52)
Taniezmiennośćwzględemcyklicznychpermutacjiutrzymujesięnawetwte-
dy,gdywynikowyiloczynmainnykształt.Naprzykładdla
A∈Rm×n
iB∈Rn×mmamy:
Tr(AB)=Tr(BA)j
(2.53)
mimożeAB∈Rm×m,aBA∈Rn×n.
Innympożytecznymfaktemjestto,żeskalarjestswoimwłasnymśladem:
a=Tr(a).
2.11.Wyznacznik
Wyznacznikmacierzykwadratowej,oznaczanyjako
det
(
A
),tofunkcjaodwzo-
rowującamacierznaskalaryrzeczywiste.Wyznacznikjestrównyiloczynowi
wszystkichwartościwłasnychmacierzy.Wartośćbezwzględnąwyznacznika
możnatraktowaćjakomiarę,nailemnożenieprzezmacierzrozszerzalub
zawężaprzestrzeń.Jeśliwyznacznikjestrówny0,toprzestrzeńzostajecał-
kowiciezmniejszonawzdłużprzynajmniejjednegowymiaru,copowoduje
utratęobjętości.Jeśliwyznacznikjestrówny1,toprzekształceniezachowuje
objętość.
2.12.Przykład:analizagłównychskładowych
Napodstawiesamejznajomościalgebryliniowejmożnawyprowadzićjeden
prostyalgorytmdlasystemówuczącychsię.Jestto
analizagłównych
składowych(ang.principalcomponentsanalysis,PCA).
Przypuśćmy,żemamyzbiór
m
punktów
{x(1)j...jx(n)}
w
Rn
ichcemy
zastosowaćichstratnąkompresję.Kompresjastratnaoznaczazapisaniepunk-
tówwsposób,którywymagamniejpamięci,alepowodujeutratędokładności.
Chcemystracićjaknajmniejnadokładności.Jednymzesposobównaza-
kodowanietychpunktówjestreprezentowanieichwersjiwmniejszejliczbie
wymiarów.Dlakażdegopunktu
x(ź)∈Rn
znajdziemyodpowiadającymu
wektorkodowania
c(ź)∈Rź
.Jeśli
l
jestmniejszeniż
n
,przechowywaniepunk-
tówkoduzajmiemniejpamięci,niżzapisanieprzechowywanieoryginalnych
danych.Będziemychcieliznaleźćjakąśfunkcjękodowania,którautworzykod
45
