Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ROZDZIAŁ2
zsamąwartościąwłasnąimożnawybraćmacierz
Q
,wykorzystującąte
wektorywłasnezamiastinnych.Przyjęto,żesortujemyelementymacierzyΛ
wkolejnościmalejącej.Zgodniezkonwencjądekompozycjanaelementy
własnejestunikatowatylkowtedy,gdywartościwłasneunikatowe.
Dekompozycjawłasnamacierzypodajewielefaktówotejmacierzy.Ma-
cierzjestosobliwawtedyitylkowtedy,gdyjednazjejwartościwłasnych
równasię0.Dekompozycjawłasnarzeczywistejmacierzysymetrycznejmo-
żebyćwykorzystanadooptymalizacjiwyrażeńkwadratowychwpostaci
f
(
x
)=
xTAx
względem
||x||2
=1.Gdy
x
jestrównewektorowiwłasne-
mu
A
,to
f
przyjmujewartośćodpowiedniejwartościwłasnej.Maksymalna
wartość
f
wograniczonymobszarzestanowimaksymalnąwartośćwłasną,
awartośćminimalnaminimalnąwartośćwłasną.
Macierz,którejwszystkiewartościwłasnedodatnie,jestnazywana
dodatniookreśloną
.Jeśliwartościwiększelubrówne0,tomacierz
nazywamy
półokreślonądodatnio
.Podobnieprzywartościachujemnych
macierzjest
ujemnieokreślona
,aprzywartościachwłasnychmniejszych
lubrównych0jest
półokreślonaujemnie
.Macierzepółokreślonedodatnio
interesujące,gdyżgwarantują,że
xjxTAx
0.Macierzeokreślone
dodatniododatkowozapewniają,żexTAx=0x=0.
2.;.Dekompozycjawartościosobliwej
Wpunkcie2.7opisano,jakdokonaćdekompozycjimacierzynawartości
iwektorywłasne.
Dekompozycjawartościosobliwej
(ang.singularvalue
decomposition,SVD)dajejeszczejedensposóbrozkładumacierzynaczynniki
na
wektoryosobliwe
i
wartościosobliwe
.SVDpozwalanamotrzymaćte
sameinformacje,któredajedekompozycjanaczynnikiwłasne;jednakSVD
maszerszezastosowanie.Każdamacierzrzeczywistamawartośćosobliwą
dekompozycji,coniejestzawszeprawdąwodniesieniudowartościwłasnych.
Jeślinaprzykładmacierzniejestkwadratowa,rozkładnaczynnikiwłasne
niejestzdefiniowanyimusimystosowaćdekompozycjęnawartościosobliwe.
Przypomnijmy,żedekompozycjanawartościwłasneobejmujeanalizę
macierzy
A
wceluznalezieniamacierzy
V
wektorówwłasnychiwektora
wartościwłasnychλ,dziękiktórymmożemyzapisaćmacierzAjako:
A=Vdiag(λ)V11.
(2.42)
Dekompozycjanawartościosobliwejestpodobna,aletymrazem
A
zapi-
sujesięjakoiloczyntrzechmacierzy:
A=UDVT.
42
(2.43)