Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ALGEBRALINIOWA
Przypuśćmy,że
A
jestmacierzą
m×n
.Wtedy
U
jestmacierzą
m×m
,
D
macierzą
m×n
,a
V
macierzą
n×n
.Każdaztychmacierzymazdefinio-
wanąspecjalnąstrukturę.Macierze
U
i
V
sąortogonalne.Macierz
D
jest
macierządiagonalną.Zauważmy,że
D
niemusibyćkwadratowa.Elementy
naprzekątnejmacierzy
D
są
wartościamiosobliwymi
macierzy
A
.Ko-
lumny
U
są
wektoramilewostronnieosobliwymi
,natomiastkolumny
Vsąwektoramiprawostronnieosobliwymi.
Dekompozycjęmacierzy
A
nawartościosobliweinterpretujemyjakode-
kompozycjęnawartościwłasnefunkcji
A
.Wektorylewostronnieosobliwe
macierzy
A
sąwektoramiosobliwymi
AAT
.Wektoryprawostronnieosobliwe
towektoryosobliwe
ATA
.Niezerowewartościosobliwemacierzy
A
topier-
wiastkikwadratowewartościosobliwych
ATA
.Tosamoodnosisiędo
AAT
.
ZapewnenajbardziejużytecznąfunkcjąSVDjestto,żemożnajejużyćdo
częściowegouogólnieniaodwracanianiekwadratowychmacierzy,cozostanie
zaprezentowanewkolejnympunkcie.
2.9.Uogólnionamacierzodwrotna
(Moore’a–Penrose’a)
Odwracaniemacierzyniejestzdefiniowanedlamacierzyniekwadrato-
wych.Przypuśćmy,żechcemydokonaćlewostronnejodwrotności
B
ma-
cierzyA,abyrozwiązaćrównanieliniowe:
Ax=yj
mnożąclewostronnieobiestrony,abyuzyskać:
x=By.
(2.44)
(2.45)
Zależnieodstrukturyproblemujednoznaczneodwzorowaniez
A
na
B
może
niebyćmożliwe.Jeślimacierz
A
jestwyższaniższersza,równaniemożenie
miećrozwiązania.Jeśli
A
jestszerszaniżwyższa,tomożebyćwielemożliwych
rozwiązań.
Uogólnionamacierzodwrotna
(ang.Moore-Penrosepseudoinverse)
pozwalanapewienpostępwtychprzypadkach.Uogólnionaodwrotność
macierzyAzdefiniowanajestjakomacierz:
A
+=lim
α\o
(A
TA+OI)11AT.
43
(2.46)
