Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ROZDZIAŁ3
3.3.2.Zmienneciągłeifunkcjegęstościprawdopodobieństwa
Podczaspracyzciągłymizmiennymilosowymiopisujemyrozkładprawdo-
podobieństwazapomocą
funkcjigęstościprawdopodobieństwa
(PDF),
aniezapomocąfunkcjimasyprawdopodobieństwa.Abyfunkcja
p
była
funkcjągęstościprawdopodobieństwa,musimiećnastępującewłaściwości:
•dziedzinąpmusibyćzbiórwszystkichmożliwychstanówx
•∀x∈xjp(x)≥0–zauważmy,żeniemawymogu,abyp(x)≤1
•∫p(x)dx=1.
Funkcjagęstościprawdopodobieństwa
p
(
x
)niedajebezpośrednioprawdo-
podobieństwaokreślonegostanu.Zamiasttegopodajeprawdopodobieństwo
znalezieniasięwewnątrznieskończeniemałegoobszaru,któregoobjętość
δx
podanajestjakop(x)δx.
Możnascałkowaćfunkcjęgęstości,abyznaleźćmasęprawdopodobień-
stwadlazbiorupunktów.Wszczególnościprawdopodobieństwo,że
x
leży
wpewnymzbiorze
S
,jestpodanejakocałkaz
p
(
x
)względemtegozbio-
ru.Wprzykładziejednowymiarowymprawdopodobieństwo,że
x
należydo
przedziału[ajb]jestokreślonejako∫
[a,b]p(x)dx.
DlafunkcjiPDFodpowiadającejokreślonejgęstościprawdopodobieństwa
względemciągłejzmiennejlosowejrozpatrzmyrozkładjednostajnyprzedzia-
łuliczbrzeczywistych.Możnatozrobićzapomocąfunkcji
u
(
x
;
ajb
),gdzie
a
i
b
tokońceprzedziału,przyczym
b>a
.Notacjazprzecinkiemoznacza
nwzględemparametru”;rozpatrujemy
x
jakoargumentfunkcji,podczasgdy
a
i
b
sąparametramidefiniującymifunkcję.Abysprawić,żeżadnamasapraw-
dopodobieństwanieznajdujesiępozaprzedziałem,mówimy,że
u
(
x
;
ajb
)=0
dlakażdego
x/∈
[
ajb
].Wewnątrz[
a
;
b
],
u
(
x
;
ajb
=
b1a
1
.Jestonawszędzienie
mniejszaod0,ponadtocałkawynosi1.Częstooznaczamy,że
x
marozkład
jednostajnywprzedziale[ajb],zapisująctojakox∼U(ajb).
3.4.Prawdopodobieństwobrzegowe
Czasamiznamyrozkładprawdopodobieństwawzględemzbioruzmiennych
ichcemypoznaćrozkładprawdopodobieństwadlaichpodzbioru.Rozkład
prawdopodobieństwadlapodzbioruokreślanyjestjako
brzegowyroz-
kładprawdopodobieństwa
.Przypuśćmynaprzykład,żemamydyskretne
zmiennelosowexiyorazznamyP(xjy).MożemyznaleźćP(x)wgreguły
sum:
∀x∈xjP(x=x)=Σ
P(x=xjy=y).
(3.3)
y
56
