Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ALGEBRALINIOWA
2.4.Zależnośćliniowaizakres
Abyistniałamacierz
A11
,równanie2.11musimiećdokładniejednorozwią-
zaniedlakażdejwartości
b
.Możliwejest,żeukładrównańniemażadnego
rozwiązanialubmanieskończeniewielerozwiązańdlaokreślonejwartości
b
.Niejestjednakmożliwe,abydlakonkretnejwartości
b
byłowięcejniż
jednorozwiązanie,amniejniżnieskończeniewiele.Jeślizarówno
x
,jaki
y
są
rozwiązaniami,to:
z=Ox+(1−O)y
(2.26)
jesttakżerozwiązaniemdladowolnejwartościrzeczywistejO.
Abystwierdzić,ilerozwiązańmarównanie,możnapotraktowaćkolum-
ny
A
jakoróżnekierunkipodróżyz
początku
(punktuokreślonegoprzez
wektorzawierającysamezera),apotemokreślić,ilejestdrógprowadzących
do
b
.Ztegopunktuwidzeniakażdyelement
x
określa,jakdalekomamypo-
dróżowaćwkażdymzkierunków,a
xź
określa,jakdalekomamysięporuszać
wkierunkukolumnyź:
Ax=Σ
ź
xźA:,ź.
(2.27)
Takirodzajdziałanianosinazwę
kombinacjiliniowej
.Formalniekombina-
cjaliniowapewnegozbioruwektorów
{U(1)
,...,
U(n)}
jestotrzymywanaprzez
pomnożeniekażdegowektora
U(ź)
przezodpowiadającymuwspółczynnik
skalarnyidodaniedosiebiewyników:
Σ
ź
cźU
(ź).
(2.28)
Zakres
(ang.span)zbioruwektorówtozbiórwszystkichpunktów,które
możnaotrzymaćnapodstawiekombinacjiliniowejoryginalnychwektorów.
Określenie,czy
Ax
=
b
marozwiązanie,sprowadzasięwięcdospraw-
dzenia,czy
b
znajdujesięwzakresiekolumn
A
.Zakrestenokreślamyjako
przestrzeńkolumnylubzasięgA.
Abyukład
Ax
=
b
miałrozwiązaniedlawszystkichwartości
b∈Rm
,
musimywymagać,abyprzestrzeńkolumn
A
wcałościnależałado
Rm
.Jeśli
jakiśpunktw
Rm
jestpozaprzestrzeniąkolumn,stanowionpotencjalnie
wartość
b
,dlaktórejniemarozwiązania.Zwymagania,abyprzestrzeń
kolumn
A
należaławcałoścido
Rm
,wynika,że
A
musimiećconajmniej
m
kolumn,czyli
n≥m
.Wprzeciwnymprzypadkuwymiarowośćprzestrzeni
kolumnbędziemniejszyod
m
.Jakoprzykładrozpatrzmyprzypadekmacierzy
3na2.Docelowe
b
jesttrójwymiarowe,lecz
x
jesttylkodwuwymiarowe,więc
35
