Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ROZDZIAŁ2
2.3.Macierzejednostkoweiodwrotne
Algebraliniowaoferujepotężnenarzędzienazywane
odwracaniemmacie-
rzy
,którepozwalaanalitycznierozwiązaćrównanie2.11dlawieluwartości
A
.
Abyopisaćodwracaniemacierzy,musimynajpierwzdefiniować
macierze
jednostkowe
.Macierzjednostkowatomacierz,któraniezmieniażadnego
wektora,gdymnożymygoprzeztęmacierz.Macierztę,którazachowuje
wartośćwektorów
n
-wymiarowych,oznaczamyjako
In
.Formalnie
In∈R
oraz:
∀x∈RnjInx=x.
(2.20)
Strukturamacierzyjednostkowejjestprosta:wszystkieelementynagłównej
przekątnejmająwartość1,apozostałemająwartość0.Przykładpokazano
narysunku2.2.
Macierzodwrotną
domacierzy
A
oznaczamyjako
A11
idefiniujemy
jako:
A
11A=In.
(2.21)
Równanie2.11możemyrozwiązaćwpokazanychniżejkrokach:
Ax=b
A
11Ax=A11b
Inx=A
11b
x=A11b.
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Oczywiścieprocestenzależyodmożliwościznalezienia
A11
.Warunki
istnieniamacierzyodwrotnejopisujemywkolejnympunkcie.
Gdyistniejemacierzodwrotna
A11
,możemyjąwyznaczyć,stosując
jedenzkilkuistniejącychalgorytmów.Wteoriitasamamacierzodwrotna
możezostaćużytadowielokrotnegorozwiązaniarównaniadlaróżnychwarto-
ści
b
.Jednak
A11
jestużytecznajakonarzędzieteoretyczneiwpraktycenie
powinnabyćużywanawwiększościaplikacjiprogramistycznych.Ponieważ
macierzodwrotnamożebyćwyznaczonanakomputerachtylkozokreślo-
nądokładnością,algorytmywykorzystującewartość
b
pozwalająotrzymać
bardziejdokładneestymacjęx.
∫
|
l
100
010
001
1
|
J
Rysunek2.2.PrzykładmacierzyjednostkowejI3
34
