Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ROZDZIAŁ3
3.11.PrawoBayesa
Częstoznamy
P
(
y|x
),achcemypoznać
P
(
x|y
).Naszczęście,jeśliznamy
takżeP(x),możemywyznaczyćpożądanąilośćzapomocąprawaBayesa:
P(x|y)=
P(x)P(y|x)
P(y)
.
(3.42)
Zauważmy,żechoć
P
(
y
)pojawiasięwewzorze,możnazwykleobliczyć
P(y)=ΣxP(y|x)P(x),więcnietrzebawychodzićodznajomościP(y).
PrawoBayesamożnabezpośredniowyprowadzićzdefinicjiprawdopodo-
bieństwawarunkowego,alewartoznaćnazwętegowzoru,którapojawiasię
wwielutekstach.FunkcjęnazwanoodnazwiskawielebnegoThomasaBayesa,
którypierwszyodkryłszczególnyprzypadekwzoru.Ogólnawersja,którątu
prezentujemy,zostałaniezależnieopracowanaprzezPierre-SimonaLaplace’a.
3.12.Techniczneszczegółyzmiennychciągłych
Poprawneformalnezrozumienieciągłychzmiennychlosowychifunkcjigę-
stościprawdopodobieństwawymagarozwinięciateoriiprawdopodobieństwa
jakogałęzimatematykiznanejjako
teoriamiary
.Teoriamiarywykracza
pozazakrestejksiążki,alemożemykrótkonaszkicowaćzagadnienia,jakie
teoriamiarypomagarozwiązywać.
Wpunkcie3.3.2pokazano,żeprawdopodobieństwociągłychwartości
wektorowych
x
leżącychwpewnymzbiorze
S
jestdanecałkąfunkcji
p
(
x
)na
zbiorze
S
.Niektórezwybranychzbiorów
S
mogąprowadzićdoparadoksów.
Naprzykładmożnazbudowaćdwazbiory
S1
i
S2
takie,że
p
(
x∈S1
)+
p
(
x∈
S2
)
>
1,ale
S1ΠS2
=
φ
.Tezbiorysązbudowanezmocnymwykorzystaniem
nieskończonejdokładnościliczbrzeczywistych,naprzykładprzeztworzenie
zbiorówokształciefraktalnymlubzbiorów,któresązdefiniowaneprzez
transformacjęzbioruliczbwymiernych
miaryjestzapewnieniecharakterystykizbioruzbiorów,dlaktórychmożemy
wyznaczyćprawdopodobieństwobeznapotykanianaparadoksy.Wtejksiążce
całkujemytylkozbioryowzględnieprostymopisie,więcaspektyteoriimiary
niesąnigdyprzedmiotemwiększejtroski.
Dlanaszychcelówteoriamiaryjestbardziejużytecznadoopisutwierdzeń,
któreodnosząsiędowiększościpunktóww
Rn
,aleniemajązastosowaniado
niektórychprzypadkówbrzegowych.Teoriamiarypodajeścisłysposóbopisu,
kiedyzbiórpunktówjestpomijalniemały.Takizbiórokreślasięjakozbiór
2ParadoksBanacha-Tarskiegodajedobryprzykładtegorodzajuzbiorów.
68
