Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ROZDZIAŁ2
2.7.Rozkładnawartościwłasne
Wieleobiektówmatematycznychmożnalepiejzrozumieć,dzielącjenaskład-
nikilubznajdującichwłaściwości,któresąuniwersalne,niezależneodtego,
jakiwybierzemysposóbprezentacji.Naprzykładliczbycałkowitemożna
rozłożyćnaczynnikipierwsze.Sposóbreprezentacjiliczby12będziesięróżnić
wzależnościodtego,czyzapiszemyjąwsystemiedziesiętnymczybinarnym,
alezawszeprawdziwabędziezależność12=2
×
2
×
3.Ztegosposobu
prezentacjimożemywyprowadzićcennewłaściwości,takiejakto,że12nie
jestpodzielneprzez5orazżekażdaliczbacałkowitabędącawielokrotnością
12będziepodzielnaprzez3.
Podobniejakdowiadujemysięczegośoliczbiecałkowitej,rozkładając
jąnaczynnikipierwsze,możemyrozłożyćmacierzewtakisposób,żeby
uzyskaćinformacjeoichwłaściwościach,któreniesąoczywistenapodstawie
samejprezentacjiichelementów.Jednymzszerokoużywanychsposobów
dekompozycjimacierzyjest
rozkładnawartościwłasne
,gdzierozkładamy
macierznazbiórwektorówwłasnychiwartościwłasnych.
Wektorwłasny
(ang.eigenvector)macierzykwadratowej
A
toniezerowywektor
U
,którego
pomnożenieprzezazmieniatylkoskalęU:
AU=AU.
(2.39)
Skalar
A
to
wartośćwłasna
odpowiadającawektorowiwłasnemu(można
teżznaleźć
lewostronnywektorwłasny,
taki,że
UTA
=
AUT
,alezwykle
zajmujemysięprawostronnymiwektoramiwłasnymi).Jeśli
U
jestwektorem
własnym
A
,tojestnimtakżekażdyprzeskalowanywektor
sU
,dlakażdego
s∈Rjs/
=0.Cowięcej,
sU
matęsamąwartośćwłasną,dlategozwykle
szukamytylkojednostkowychwektorówwłasnych.
Przypuśćmy,żemacierz
A
ma
n
niezależnychliniowowektorówwłasnych
{U(1)j...jU(n)}
zodpowiadającymiimwartościamiwłasnymi
{A1j...jAn}
.
Możemypołączyćwszystkiewektorywłasnewmacierz
V
zjednymwekto-
remwłasnymwkażdejkolumnie:
V
=[
U(1)j...jU(n)
].Podobniemożemy
scalićwartościwłasnewpostaciwektora
A
=[
A1j...jAn
]
T
.
Dekompozycja
własnamacierzyAmapostać:
A=Vdiag(λ)V11.
(2.40)
Widzimy,żebudowamacierzyzokreślonymiwartościamiwłasnymiiwek-
toramiwłasnymipozwalanamnarozszerzenieprzestrzeniwpożądanym
kierunku.Czasemchcemy
rozłożyć
macierznajejwartościiwektorywłasne.
Pomagatowanalizieokreślonychwłaściwościmacierzy,podobniejakrozkład
40
