Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ROZDZIAŁ2
C
=
A
+
b
,gdzie
Cź,j
=
Aź,j
+
bj
.Innymisłowy,wektor
b
zostajedodany
dokażdegowierszamacierzy.Takiskróteliminujepotrzebędefiniowania
macierzy,wktórejprzeddodawaniem
b
jestkopiowanydokażdegojejwiersza.
Takiedomyślnekopiowanie
b
dowielulokalizacjinazywasię
rozgłaszaniem
.
2.2.Mnożeniemacierzyiwektorów
Jednymznajważniejszychdziałańzwiązanychzmacierzamijestmnożenie
dwóchmacierzy.
IloczynemmacierzyA
i
B
jesttrzeciamacierz
C
.Aby
możnabyłouzyskaćiloczyn,macierz
A
musimiećtylesamokolumn,ile
wierszymamacierz
B
.Jeśli
A
mawymiary
m
na
n
,a
Bn
na
p
,to
C
będzie
miałarozmiar
m
na
p
.Iloczynmacierzmożemyzapisać,umieszczającrazem
dwiemacierzelubwięcej,naprzykład:
C=AB.
Iloczyndefiniowanyjestjako:
Cź,j=Σ
k
Aź,kBk,j.
(2.4)
(2.5)
Zauważmy,żestandardowyiloczyndwóchmacierzytoniejestpoprostu
macierzzawierającailoczynyposzczególnychelementów.Takiedziałanieteż
istniejeinosinazwę
iloczynupowspółrzędnych
lub
iloczynuHadamar-
daijestoznaczanejakoA0B.
Iloczynskalarny
(ang.dotproduct)międzydwomawektorami
x
i
y
otychsamychwymiarachjestiloczynemmacierzy
xTy
.Możemytraktować
iloczynmacierzywpostaci
C
=
AB
jakowyznaczenie
Cź,j
jakoiloczynu
skalarnegomiędzywierszemmacierzyAikolumnąmacierzyB.
Iloczynymacierzymająwieleużytecznychwłasności,któresprawiają,że
analizamatematycznamacierzyjestwygodniejsza.Naprzykładmnożenie
macierzyjestrozdzielne:
A(B+C)=AB+AC.
Jesttakżełączne:
A(BC)=(AB)C.
(2.6)
(2.7)
Wprzeciwieństwiedomnożeniaskalarnegomnożeniemacierzyniejestprze-
mienne(warunek
AB
=
BA
niezawszejestspełniony).Jednakiloczyn
zkropkądwóchwektorówjestprzemienny:
x
Ty=yTx.
32
(2.8)
