Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.3.RównanieSchrödingerazależneodczasu
75
oznacza,żepotrafimypowiedziećjakabędziefunkcjafalowapoupływiebardzo
krótkiegoczasudt.Będzieonanastępująca:
ψ+
∂ψ
∂t
dt=ψ–
h
i
¯
Hψdt=1+–i
ˆ
N¯
t
hˆ
Hψ,
przyczymprzyjęliśmydt=t/NzN(liczbanaturalna)bardzodużym.Ma-
mywięcnowąfunkcję,którąuzyskaliśmyzestarejpoprzezdziałanieoperatora
[1+(–it
N¯
h)ˆ
H].Możemyterazudać,żeżadnejfunkcjiniezmienialiśmyizasto-
sowaćoperatorzmianyfunkcjijeszczerazdojużzmienionejfunkcji,apotem
powtarzaćtoipowtarzać.Zakładamyprzytym,żeˆ
Hniezależyodczasu.Jest
torównoznacznezwielokrotnymzastosowaniemoperatora[1+(–it
N¯
h)ˆ
H],czyli
zprzejściemdogranicy:
N→∞1+–i
lim
N¯
t
hˆ
H
N
.
Wiemy,żefunkcjęexp(x)możnainaczejprzedstawićjakolimN→∞[1+
N]N,
x
awięc
ewolucjaczasowaodpowiadadziałaniunapoczątkowąfunkcjęψopera-
toremexp(–it
h
¯
H):
ˆ
ψ,=exp–
it
h
¯
Hψ.
ˆ
(2.13)
RezultatspełniarównanieSchrödingerazależneodczasu27wtedy,gdyˆ
Hnie
zależyodczasu,atakzakładaliśmyprzecieżkonstruującprzedchwiląψ,.
Wstawiającspektralnerozwinięciejedynki28(por.tabl.1.2)jakoostatniope-
ratorwewzorzenaψ,,otrzymujemy29
ψ,=exp–i
h
t
¯
H1ψ=exp–i
ˆ
h
t
¯
HΣ
ˆ
n
|ψn)(ψn|ψ)=
=Σ
n
(ψn|ψ)exp–i
h
t
¯
H|ψn)=Σ
ˆ
n
(ψn|ψ)exp–i
h
t
¯
En|ψn).
27Łatwosięotymprzekonać,wstawiającψ,dorównania(2.12).Różniczkującψ,względemt,
otrzymamyzłatwościąlewąstronętegorównania.
28Użyciespektralnegorozwinięciajedynkiwtejformieniejestwpełniuzasadnione.Nagłewy-
łączeniepolamożepozostawićmolekułęzpewnąenergiątranslacyjną.Tymczasemwspektralnym
rozwinięciujedynkisątylkostanystacjonarnemolekuływukładziejejśrodkamasyijejtranslacjanie
jestuwzględniona.
29Skorzystaliśmytu(dodatekB)zwłaściwościfunkcjif(któredadząsięrozwinąćwszereg
Taylora),żedlafunkcjiwłasnychˆ
Hmamyf(ˆ
H)ψn=f(En)ψn.
