Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.ZasadanieoznaczonościHeisenberga
33
Weźmyzatemiloczynkwadratówodchyleństandardowychdlaoperatorówˆ
Aiˆ
B,
uwzględniającprzytym,żesymbolśredniej(ˆ
u)oznaczacałkę(Ψ|ˆ
u|Ψ).Otrzy-
mujemy(przyoznaczeniachˆ
A=ˆ
A–(ˆ
A)iˆ
B=ˆ
B–(ˆ
B);przyczym,oczywiście,
[ˆ
A,ˆ
B]=[ˆ
A,ˆ
B]):
(∆A)2·(∆B)2=(Ψ|ˆ
A2Ψ)(Ψ|ˆ
B2Ψ)=(ˆ
AΨ|ˆ
AΨ)(ˆ
BΨ|ˆ
BΨ),
gdzieskorzystaliśmyzhermitowskościoperatorówˆ
Aiˆ
B.Terazskorzystamy
znierównościSchwartza(patrzdodatekB)(f
1|f
1)(f
2|f
2)≥|(f
1|f
2)|2:
(∆A)2·(∆B)2=(ˆ
AΨ|ˆ
AΨ)(ˆ
BΨ|ˆ
BΨ)≥|(ˆ
AΨ|ˆ
BΨ)|2.
Dalej
(ˆ
AΨ|ˆ
BΨ)=(Ψ|ˆ
Aˆ
BΨ)=(Ψ|{[ˆ
A,ˆ
B]+ˆ
Bˆ
A}Ψ)=±i(Ψ|ˆ
hΨ)+(Ψ|ˆ
Bˆ
AΨ)=
=±i(Ψ|ˆ
hΨ)+(ˆ
BΨ|ˆ
AΨ)=±i(Ψ|ˆ
hΨ)+(ˆ
AΨ|ˆ
BΨ)∗,
skąd
±i(Ψ|ˆ
hΨ)=2iIm{(ˆ
AΨ|ˆ
BΨ)}
(zhermitowskościdostajemy(Ψ|ˆ
hΨ)=(ˆ
hΨ|Ψ)=(Ψ|ˆ
hΨ)∗,czylicałkata
jestliczbąrzeczywistą).Tooznacza,żeIm{(ˆ
AΨ|ˆ
BΨ)}=±
(Ψ|ˆ
2
hΨ)
,awtedy
|(ˆ
AΨ|ˆ
BΨ)|≥
|(Ψ|ˆ
2
hΨ)|
.Stądotrzymujemy
(∆A)2·(∆B)2≥|(ˆ
AΨ|ˆ
BΨ)|2≥
(Ψ|ˆ
hΨ)2
.
(1.22)
4
Mamydwaważneprzypadkiszczególne:
a)ˆ
h=0,czylizachodzikomutacjaoperatorówˆ
Aiˆ
B.Otrzymujemywówczas
(∆A)2·(∆B)2≥0,czylibłędymogąbyćdowolniemałe.Obiewielkościmożna
zmierzyćjednocześniebezpopełnieniajakiegokolwiekbłędu.
b)ˆ
h=¯
h,takjakdlawspółrzędnejipędu.Wtedyotrzymujemy
∆A·∆B≥
h
2
¯
,
czylizasadęnieoznaczonościHeisenberga.Oznaczato,wszczególnościdla
A=ˆ
ˆ
xiˆ
B=ˆ
px,że(jeślimechanikakwantowajestsłuszna)niemożemyni-
gdyzmierzyćdokładnegopołożeniaipęducząstki!Gdyzwiększamydokładność
pomiarupołożenia,otrzymujemycorazwiększyrozrzutzmierzonegopędu.W
końcu,gdydokładniezmierzymypołożenie,pędjestwogólenieokreślony51.
51Wymyślonohistoryjkę,wktórejpolicjadrogowazatrzymałaprofesoraHeisenbergazaprzekro-
czenieszybkości.Policjantzapytał:„CzywiePan,zjakąprędkościąPanjechał,gdyPanazatrzyma-
łem???!!!”NatoHeisenbergodparł:„Niemamnajmniejszegopojęcia,alewiemzatodokładnie,w
którymmiejscupanowiemniezatrzymali”.
