Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ROZDZIAŁ2
modyfikowaniewartości
x
conajwyżejpozwalanaokreśleniepłaszczyzny
dwuwymiarowejwobrębie
R3
.Równaniemarozwiązaniewtedyitylkowtedy,
gdybleżynatejpłaszczyźnie.
Spełnienie
n≥m
jestjedynymkoniecznymwarunkiemistnieniaroz-
wiązania.Niejesttojednakwarunekwystarczający,gdyżniektórekolum-
nymogąbyćnadmiarowe.Rozważmymacierz2na2,gdzieobiekolum-
nysąidentyczne.Jesttotasamaprzestrzeńkolumn,jakdlamacierzy
2na1,zawierającejjednakopiępowielonejkolumny.Innymisłowy,prze-
strzeńjestliniąprostąiniewskazujewszystkich
R2
,mimożemadwie
kolumny.
Formalnietenrodzajnadmiarowościjestznanyjako
zależnośćliniowa
.
Zbiórwektorówjest
liniowoniezależny
,jeśliżadenwektorzezbiorunie
jestkombinacjąliniowąpozostałychwektorów.Jeślidodamydozbioruwektor
stanowiącykombinacjęliniowąinnychwektorówzezbioru,tonowywek-
torniedodajeżadnychpunktówdozakresuzbioru.Oznaczato,żeaby
przestrzeńkolumnmacierzyobejmowaławszystkie
Rm
,tomacierzmusi
zawieraćconajmniejjedenzbiór
m
liniowoniezależnychkolumn.Tenwarunek
jestkoniecznyiwystarczającydotego,abyrównanie2.11miałorozwiązanie
dlakażdejwartości
b
.Wartozauważyć,żezgodniezwymaganiamizbiór
musimiećdokładnie
m
niezależnychkolumn,anieconajmniej
m
.Żaden
zbiór
m
-wymiarowychwektorówniemożemiećwięcejniż
m
wzajemnie
niezależnychliniowokolumn,alemacierz,któramawięcejniż
m
kolumn,
możemiećwięcejniżjedentakizbiór.
Abymacierzmiałamacierzodwrotną,musimydodatkowozapewnić,że
równanie2.11maniewięcejniżjednorozwiązaniedlakażdejwartości
b
.Aby
tegodokonać,musimymiećpewność,żemacierzmaniewięcejniż
m
kolumn.
Wprzeciwnymprzypadkujestwięcejniżjedensposóbparametryzacjikaż-
degorozwiązania.Wsumieoznaczato,żemacierzmusibyć
kwadratowa
,
czyli
m
=
n
,awszystkiekolumnymusząbyćliniowoniezależne.Macierz
kwadratowazawierającaliniowozależnekolumnyjestokreślanajako
osobli-
wa
.Jeśli
A
niejestkwadratowalubjest,alejestosobliwa,torozwiązanie
równaniajestnadalmożliwe,aleniemożnaużywaćwtymcelumacierzy
odwrotnej.
Omówiliśmydotądodwrotnośćmacierzyjakomnożonąlewostronnie.
Możnateżzdefiniowaćodwrotność,którajestmnożonazprawej:
AA
11=I.
Dlamacierzykwadratowychodwrotnościlewaiprawasąrówne.
36
(2.29)
