Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ALGEBRALINIOWA
liczbycałkowitejnaczynnikipierwszepozwalazrozumiećzachowaniesię
liczbycałkowitej.
Niekażdąmacierzmożnarozłożyćnawartościiwektorywłasne.Wniektó-
rychprzypadkachdekompozycjajestmożliwa,aleobejmujeliczbyzespolone,
anierzeczywiste.Naszczęściewtejksiążcemusimydokonywaćrozkładu
tylkookreślonegotypumacierzy,któremająprostyrozkład.Konkretnie,
każdąrzeczywistąmacierzsymetrycznąmożnarozłożyćnawyrażenia,wyko-
rzystująctylkorzeczywistewartościiwektorywłasne:
A=QΛQTj
(2.41)
gdzie
Q
jestmacierząortogonalnązłożonazwektorówwłasnych
A
,natomiast
Λjestmacierządiagonalną.WartośćwłasnaΛ
ź,ź
jestpowiązanazwektorem
zkolumny
ź
macierzy
Q
ioznaczonajako
Q:,ź
.Ponieważmacierz
Q
jest
ortogonalna,możnatraktować
A
jakoprzestrzeńskalowaniawzględem
Aź
wkierunkuU(ź).Przykładpokazanonarysunku2.3.
Podczasgdykażdąrzeczywistąsymetrycznąmacierz
A
napewnomożna
rozłożyćnaelementywłasne,dekompozycjatamożeniebyćunikatowa.Jeśli
jedenlubwięcejwektorówwłasnychmatęsamąwartośćwłasną,tokażdy
zbiórortogonalnychwektorówleżącywichzakresiestanowiwektorywłasne
Rysunek2.3.Efektrozkładunawartościiwektorywłasne.Macierz
A
madwa
ortogonalnewektorywłasne,gdzie
U(1)
mawartośćwłasną
A1,
a
U(2)
wartość
własną
A2
.Polewej:kreślimyzbiórwszystkichwektorówjednostkowych
u∈R2
jako
okrągjednostkowy.Poprawej:kreślimyzbiórwszystkichpunktów
Au
.Obserwując
sposób,wjaki
A
deformujeokrągjednostkowy,możnazobaczyć,żeskalujeon
przestrzeńwagwkierunkuU(ż)przezAż
41
