Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
PRAWDOPODOBIEŃSTWOITEORIAINFORMACJI
każdązmiennąlosowązróżnąfunkcjąmasyprawdopodobieństwaiczytelnik
musiwywnioskować,którejPMFużyćnapodstawietożsamościzmiennej
losowej,anienapodstawienazwyfunkcji;P(x)jestzwykleróżnaodP(y).
Funkcjamasyprawdopodobieństwaodwzorowujestanzmiennejlosowejna
prawdopodobieństwoprzyjęciaprzezniądanegostanu.Prawdopodobieństwo,
że
x
=
x
,jestoznaczonejako
P
(
x
),gdzieprawdopodobieństwo1wskazuje,że
równość
x
=
x
jestpewna,natomiast0wskazuje,żerówność
x
=
x
jestniemoż-
liwa
zmiennejlosowejjawnie
P
(
x
=
x
).Czasaminajpierwdefiniujemyzmienną,
anastępnieużywamyzapisu
∼
,abyokreślić,jakimaonarozkład:
x∼P
(
x
).
Funkcjamasyprawdopodobieństwamożewtymsamymczasiedziałaćna
wieluzmiennych.Takirozkładprawdopodobieństwaznanyjestjako
wspólny
rozkładprawdopodobieństwa
.
P
(
x
=
xjy
=
y
)wskazujeprawdopodo-
bieństwo,żejednocześnie
x
=
x
i
y
=
y
.Zapismożemyskrócićdopostaci
P(xjy).
Abyfunkcja
P
byłaPMFwzględemzmiennej
x
,musimiećnastępujące
właściwości:
•dziedzinaPmusibyćzbioremwszystkichmożliwychstanówx
•∀x∈xj
0
≤P
(
x
)
≤
1–zdarzenieniemożliwemaprawdopodobieństwo
równe0iżadenstanniemożemiećmniejszegoprawdopodobieństwa;
podobniezdarzeniezpewnościąsięwydarzy,jeślimaprawdopodobień-
stworówne1,ażadenstanniemożemiećwiększejszansyzdarzeniasię
•Σ
x∈xP
(
x
)=1–tęwłaściwośćtraktujemyjako
znormalizowaną;
bezniejmożnabyotrzymaćprawdopodobieństwawiększeod1,jeśli
obliczanobyprawdopodobieństwozajściajednegozwieluzdarzeń.
Rozważmynaprzykładpojedyncządyskretnązmiennąlosową
x
,która
możemieć
k
stanów.Możnawprowadzić
rozkładjednostajnyx
–czyli
każdystanbędziejednakowoprawdopodobny–nadającjegofunkcjiPMF
wartość:
P(x=xź)=
k
1
(3.1)
dlakażdego
ź
.Możemyzobaczyć,żewszystkiewymaganiafunkcjimasy
prawdopodobieństwasąspełnione.Wartość
k
1
jestdodatnia,gdyż
k
jest
liczbącałkowitądodatnią.Widzimytakże,że:
Σ
ź
P(x=xź)=Σ
ź
1
k
=
k
k
=1j
(3.2)
więcrozkładjestpoprawnieznormalizowany.
*
Zwyklemówimy„bardzomałoprawdopodobne”,gdyżnajczęściejwartość0jest
wartościągraniczną.
55
