Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.Egipskaarytmetyka
Ogólniemetodajestjakniżej.Zaczynającodułamkam/n,piszemynajpierw
składnikówsumy
.
43
Terazwykorzystujemypodziałtożsamości,abyzastąpićm
-
1instancjiułamkajednostkowego1/n
przez
,
otrzymującstąd
składnikówsumy
.
Kontynuujemywtakisamsposób.Wkolejnymetapie,dzieląctożsamość,jakwtymzastosowaniu
i
otrzymujemywwyniku
,
.
Wprawdzieliczbaułamkówjednostkowych(awięcprawdopodobieństwopowtórzeń)rośniezkażdym
etapem,możnawykazać,żeostatecznietenproceskończysię.
Drugatechnika,którąchcemyrozpatrzeć,jestprzypisywanawłoskiemumatematykowizXIIIwie-
kuLeonardowizPizy,lepiejznanemupodswoimpatronimikiemFibonacci.W1202rokuopublikował
onalgorytmwyrażaniadowolnejliczbywymiernejpomiędzy0a1jakosumyróżnychułamkówjed-
nostkowych.Zostałonnanowoodkrytyigłębiejprzeanalizowanyw1880r.przezJ.J.Sylvestra.Idea
jestnastępująca.Przypuśćmy,żedanyjestułameka/b,gdzie0
<
a/b
<
1.Najpierwznajdujemyliczbę
całkowitąn
1spełniającąrównanie
lub,cosprowadzasiędotegosamego,określamyn
1wtakisposób,żen
1
-
1
<
b/a
≤
n
1.Ztychnierów-
nościwynika,żen
1a
-
a
<
b
≤
n
1a,awięcn
1a
-
b
<
a.Odejmijmy1/n
1oda/biwyraźmyróżnicęjako
ułamek,określającgojakoa
1/b
1:
.
