Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
44
ROZDZIAŁ2.Matematykawewczesnychcywilizacjach
Topozwalanamzapisaća/bjako
.
Ważnympunktemjest,żea
1=n1a
-
b
<
a.Innymisłowy,licznika
1tegonowegoułamkajestmniejszy
niżlicznikaoryginalnegoułamka.
Jeślia
1=1,toniemamynicwięcejdozrobienia.Wprzeciwnymraziepowtarzamyprocesprzy
a
1/b
1pełniącychterazrolęa/b,abyotrzymać
,gdziea
2
<
a
1.
Wkażdymkolejnymetapielicznikpozostającegoułamkamaleje.Musimywkońcudojśćodułam-
kaa
k/b
k,wktóryma
k=1.Dlaściślemalejącegociągu1
≤
a
k
<
a
k-1
<
ł
<
a
1
<
aniemożemykonty-
nuowaćtegownieskończoność.Takwięcpożądanareprezentacjaa/bzostajeosiągniętajako
,
sumaułamkówjednostkowych.
PrzeanalizujmykilkaprzykładówilustrującychmetodęFibonacciego.
Przykład0Przyjmijmya/b=.Abyznaleźćn1,zauważmy,że9
n
1=10.Odejmowaniedajenam
<
<
10,awięc
,astąd
.
Możemywięcprzedstawić
,jako
.
Przykład0Dlabardziejszczegółowejilustracjiwracamyponowniedoułamkaa/b=.Podzielnie
9przez13dajenam1
ułamekjednostkowywrozkładzie
<
<
2,coprowadzido
,to.Teraz
.Stądn
1=2.Oznaczato,żepierwszy
,
zczegowynika
.
Zgodniezoczekiwaniemlicznikpozostałegoułamkajestmniejszyniżlicznikdanegoułamka,
czyli5
<
9.Powtarzamycałyproceszułamkiem
.Ponieważ5
<
<
6,otrzymujemy
orazn
2=6.Poprzeprowadzeniudziałańarytmetycznychmamy
