Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.RównanieSchrödingeradlastanówstacjonarnych
71
cieczy19.Wrównaniupojawiłsiędzi-
woląg,amianowicieoperator–¯
2m
h2
dx2,
d2
którynajwyraźniejpełniłfunkcję
energiikinetycznej!Istotnie,patrząc
zimnonaotrzymanerównanie,mamy:
coś+energiapotencjalna,wszystkoto
razyψrównasięenergiacałkowitara-
HermannWeyl
(1885–1955),niemieckima-
tematyk,
n¨
schulewZurychu,potem
wGetyndzeiInstituteforAd-
vancedStudieswPrinceton
(USA),specjalistawzakresie
teoriiszeregówortogonal-
nych,teoriigrupirównań
różniczkowych.Weyluwiel-
białżonęSchr¨
przyjacielemdomu—to
assischeTechnischeHoch-
profesor
odingera,był
Eidge-
byłdlaSchr¨
partnerdorozmówoproble-
miewłasnym.
odingeraidealny
zyψ.Wobectegotocośmusibyć
energiąkinetyczną!Alechwileczkę,
energiakinetycznatoinaczejp2/(2m).
Ztegowynika,żewotrzymanymrów-
naniuzamiastpmamypewienopera-
toropostacii¯
hd
dxlub–i¯
hd
dx,botylko
takioperatorpodniesionydokwadratudajeto,cotrzeba.Czyżbywięckluczem
dozagadkibyłowstawianiedoklasycznegowyrażenianaenergięcałkowitąod-
powiednichoperatorówopowyższejpostacizamiastpędów?Copodekscytowany
Schrödingermógłzrobić?Najlepiejwypróbowaćideęnanajprostszychproble-
machmechaniki,awięcnaoscylatorzeharmonicznym,cząstcewpudle,rota-
torzesztywnym,apotematomiewodoru.Niewiadomo,czySchrödingermiał
takgruntownewykształceniematematyczne,żerozwiązałpojawiającesięrów-
naniasamodzielnie,czyteżmusiałporadzićsięprzyjacielamatematyka.Amiał
takiego!ByłnimHermannWeyl.Wkażdymrazieniektórerównanianiebyły
elementarne.Przyokazjiokazałosię,żeto,conależywstawiaćzamiastp—to
–i¯
hd
dx,aniei¯
hd
dx(postulatIImechanikikwantowej).
Warunkibrzegowe
RównanieSchrödingerajestrównaniemróżniczkowym.Abyuzyskaćrozwiązanie
szczególnetegorównania,trzebapodaćwarunkibrzegowe,jakierozwiązanie
musispełnić.Warunkibrzegowewynikajązawszezfizykiproblemu.Naprzykład
•dlastanówzwiązanych20chcemy,abyfunkcjefaloweznikały,gdychoć-
byjednawspółrzędnajakiejścząstkidążydonieskończoności:ψ(x=∞)=
=ψ(x=–∞)=0,
•dlaukładówcyklicznychoobwodzieLnaturalnymibędąwarunki:ψ(x)=
=ψ(x+L)iψ
,(x)=ψ,(x+L)zapewniającegładkie„zszycie”funkcjifalowej,
19ciekawazbieżność:Heisenbergteżzajmowałsięruchemcieczy!NapoczątkuSchrödingernie
stosowałoperatorów,pojawiłysięonejakoskutekkontaktówzuniwersytetemwGetyndze.
20Czylicałkowalnychzkwadratem,tzn.takichψ,dlaktórychcałka(ψ|ψ)jestskończona.
