Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
42
20Zadanieprostekinematyki
jącązależnością:
l(A9C)1l(A9B)+l(B9C)9
(2.15)
którajestwistociesumądwóchwektorówwystępującychzprawejstronypowyższejza-
leżności.Wykorzystującrównanie(A.16),wprostysposóbmożnawykazaćwłaściwość
(2.12).Właściwość(2.13)wynikawprostzfaktu,żel(A9A)10,awłaściwość(2.14)
zrównania(2.12).WistociepopodstawieniuC1AmamyO(A9B)O(B9A)1U.Kie-
runekdziałaniatransformacjiodwrotnejzaznaczononarys.2.1.Zwróćmyuwagę,że
wprzekształcaniuprzestrzennychsiłiprędkościbierzeudziałtensamwektorl(A9B)
opoczątkuwpunkcieA,akońcuwpunkcieB(długośćtegowektorajestodległością
międzytymipunktami).
OperatorsprzężonyzoperatoremprzestrzennymO(A9B)jestzwiązanyzezmianą
występowaniawektoral(A9B)wiloczynachwektorowychl(A9B)×F(A)orazω×
l(A9B)(wzory(2.7)oraz(2.6)).Operatorodwrotnyniejestoperatoremsprzężonym.
Takjestwówczas,gdymacierzjestortogonalna,tzn.gdyrozpatrujemynp.przestrzenną
macierzkosinusówkierunkowych.Jakwiadomo,macierztajestzwiązanazorientacją
układuwspółrzędnychwzględemukładuodniesieniaprzyzałożeniu,żepoczątkiobu
układówpokrywająsię.
Wdotychczasowychrozważaniachrozpatrywaliśmytylkojednąbryłęsztywną,na-
tomiastwprzypadkumanipulatoramamydoczynieniazkilkomapołączonymibryłami
sztywnymi.Dlategowtymmiejscuformalniewprowadzimyprzestrzennąmacierzko-
sinusówkierunkowych.Wzwiązkuztymzałóżmy,żezpunktamiAiBzrys.2.1są
związanedwaróżneukładywspółrzędnych.Oznaczmymacierzkosinusówkierunko-
wychowymiarach(3×3)jakoRA
B,tzn.jesttomacierzorientacjiprzekształcającaukład
współrzędnychzwiązanyzpunktemBwukładwspółrzędnychzwiązanyzpunktemA.
Wtedymacierzprzestrzennąkosinusówkierunkowychzapiszemywpostaci:
A(A9B)1[R
0
A
B
RA
0
B]∈R6×69
(2.16)
gdzie0jestmacierzązerowąowymiarze(3×3).Macierzdoniejodwrotnajestjedno-
cześniemacierzątransponowanąimapostać:
A
11(A9B)1AT(A9B)1[R
0
B
A
RB
0
A]∈R6×6.
(2.17)
Gdywektoryprzestrzennef(A)orazf(B)sąwyrażonewróżnychukładachwspół-
rzędnych,wzór(2.10)przyjmujepostać:
f(A)1O(A9B)A(A9B)f(B)9
awzór(2.8)mapostać:
V(B)1AT(A9B)OT(A9B)V(A).
(2.18)
(2.19)
Zauważmy,żeprzestrzenneoperatoryO(A9B)iA(A9B)występująwpostaciilo-
czynuO(A9B)A(A9B).Jeżeliweźmiemypoduwagęjegotranspozycję,otrzymamy
wzór(2.8).
