Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
44
20Zadanieprostekinematyki
negozłącza.Ponieważograniczeniaholonomiczneniezależąodprędkości,prowadządo
zmniejszenialiczbyzmiennychkonfiguracyjnychiwtymsamymstopniuliczbyzmien-
nychzwiązanychzruchem.Ograniczenianieholonomicznenatomiastzmniejszająliczbę
zmiennychprędkościowych,przyczymliczbazmiennychkonfiguracyjnychzłączapo-
zostajebezzmian.Wynikatowprostzdefinicjiograniczeńnieholonomicznych,które
mającharakterlokalny,czylipowodujązmianyjedynielokalnegozachowaniazłącza.W
rozważaniachskupimysięnaograniczeniachnieholonomicznychrównościowych,apo-
miniemynierównościowe.Wyczerpującąichanalizęmożnaznaleźćm.in.wpracy[49].
Dlailustracjipowyższychrozważańrozpatrzmynastępującyprzykład.Przeanalizu-
jemyruchkulipopoziomejpłaszczyźnie,np.podłogi,przyczymzałożymy,żeruchten
odbywasiębezpoślizguzuwaginawystępującetarcie.Wzajemneoddziaływaniekuli
ipodłogizobrazujemyzapomocązłącza.Łatwozauważyć,żemamytutajdoczynienia
zjednymograniczeniemholonomicznym.Ograniczenietopoleganatym,żeodległość
środkamasykuliodpodłogipozostajestałaijestrównadokładniepromieniowikuli.
Wprzestrzeniprędkościwyrażasiętowtakisposób,żekulaniemożeporuszaćsię
zokreślonąprędkościąwkierunkuprostopadłymdopodłogi,czyliniemazjawiskaod-
bićkuliodpodłogi.Kulajestopisanazapomocąpięciuzmiennychkonfiguracyjnych.
Dwieznichokreślająpołożeniekulinapodłodze,trzypozostałesązwiązanezorientacją
kuli.Dokładniejszaanalizapokazujejednak,żezkuląsązwiązanejedynietrzyzmienne
konfiguracyjne.Wynikatozprostegofaktubrakuruchuślizgowego(któryjestogra-
niczeniemnieholonomicznym),zatemwrozważanymprzypadkumamyjedynietrzy
zmiennekonfiguracyjne:dwiezwiązanezpołożeniemkulinapodłodzeijednązwią-
zanązruchemobrotowymwokółnormalnejdopłaszczyznypodłogi.Kulaniemoże
poruszaćsięruchemliniowympopodłodzezpowodubrakupoślizgu.Wistocieruch
liniowyiobrotowykulisązesobąsprzężone.
Przejdziemyterazdoopisuzmiennychkonfiguracyjnychorazzmiennychzwiąza-
nychzruchemzłącza.Jeżelizłączejestopisanezapomocąrpzmiennychkonfiguracyj-
nych,todoparametryzacjikonfiguracjizłączamożebyćużytywektorrp-wymiarowy
współrzędnychuogólnionychopisującychdanezłącze.Wistociejesttak,żerppara-
metrówopisującychzłączestanowiminimalnąliczbęparametrów,któresąwymagane
dojegoopisu.Sąonejednocześniezwiązanezreprezentacjązadaniaplanowaniatrajek-
torii,rozpatrywanegodalejwsensiepołożeniaiorientacji.Wpraktycejednaknależy
rozważyćnieminimalnereprezentacjeorientacji,zatemtakareprezentacjaniemożepre-
tendowaćdozbioruwspółrzędnychuogólnionych.Jakoprzykładprzeanalizujemyrepre-
zentacjęorientacjizapomocątrzechkątówEulera,omawianąwpoprzednimrozdziale,
którawpewnychpunktachjestosobliwa.Wtedykoniecznastajesięreprezentacjaorien-
tacjizapomocąparametrówEulera[154],tj.czterechparametrów,czylimamytutaj
doczynieniaznieminimalnąreprezentacją.Zatemminimalnareprezentacjazmiennych
konfiguracyjnych,którajestpoprawnazformalnegopunktuwidzenia,możeprowadzić
dozachowańniestabilnych,czylimożeniebyćakceptowalnanp.zewzględunasterowa-
nie.Wynikastądwniosek,żewogólnymprzypadkuliczbazmiennychkonfiguracyjnych
możebyćwiększaniżliczbawspółrzędnychuogólnionych.Dlauproszczeniarozważań
założymy,żeliczbytesąidentyczne.
