Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ALGEBRALINIOWA
algorytmsystemówuczącychsięwpostacidowolnychmacierzy,aleuzyskać
mniejkosztowny(iprostszywopisie)algorytmdziękiograniczeniuczęści
macierzydomacierzydiagonalnych.
Niewszystkiemacierzediagonalnemusząbyćkwadratowe.Możliwejest
zbudowanieprostokątnejmacierzydiagonalnej.Niemożnawprawdzietakiej
macierzyodwrócić,alemożnaprzezniątaniomnożyć.Dlaniekwadratowej
macierzy
D
iloczyn
Dx
będziewymagałskalowaniakażdegoelementu
x
isca-
lanianiektórychzerwwyniku,jeśli
D
jestwyższaniższersza,alboodrzucenia
niektórychkońcowychelementówwektora,jeśliDjestszerszaniżwyższa.
Macierz
symetryczna
tokażdamacierz,którarównasięswojejtranspo-
zycji:
A=AT.
(2.35)
Macierzesymetrycznepojawiająsię,gdyelementysąwynikiemdziałania
funkcjidwóchargumentów,przyczymwartośćniezależyodichkolejności.
Jeślinaprzykład
A
jestmacierząpomiarówodległości,gdzie
Aź,j
daje
odległośćodpunktu
ź
dopunktu
j
,to
Aź,j
=
Aj,ź
,gdyżfunkcjeodległości
sąsymetryczne.
Wektorjednostkowytowektoronormiejednostkowej:
||x||2=1.
(2.36)
Wektory
x
i
y
sąwzględemsiebie
ortogonalne
,jeśli
xTy
=0.Jeśli
obawektorymająnormyróżneod0,tooznacza,żesąwzględemsiebie
podkątem90stopni.W
Rn
niewięcejniż
n
wektorówmożebyćwzajemnie
ortogonalnychzniezerowąnormą.Jeśliwektorysąnietylkoortogonalne,lecz
takżemająjednostkowąnormę,tonazywamyjeortonormalnymi.
Macierzortogonalna
tomacierzkwadratowa,którejwierszesąwza-
jemnieortonormalneikolumnysąwzajemnieortonormalne:
A
TA=AAT=I.
Stądwynika,że:
A
11=ATj
(2.37)
(2.38)
więcmacierzeortogonalnesąwzakresienaszegozainteresowania,gdyżich
odwrotnośćjestbardzoprostadoobliczenia.Wartozwrócićuwagęnadefinicję
macierzyortogonalnych.Wbrewintuicjiichwierszesąnietylkoortogonalne,
lecztakżewpełniortonormalne.Niemaoddzielnejnazwynamacierz,której
wierszelubkolumnysąortogonalne,aleniesąortonormalne.
39
