Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Postulaty
19
np.dladwóchoperatorówˆ
Aiˆ
Bmożezachodzićrelacja,żekomutator,czyli
[ˆ
A,ˆ
B]≡ˆ
Aˆ
B–ˆ
Bˆ
A/=0.Tawłaściwośćoperatorówmaważnekonsekwen-
cjefizyczne(zob.wdalszymtekściepostulatIVorazzasadanieoznaczoności
Heisenberga).Zpowodunieprzemiennościprzekształcanieklasycznegowzoru
(wktórymkolejnośćmnożenianieodgrywaroli)naoperatormożeniebyćjed-
noznaczne.Wtedywybieramytakioperator,któryjesthermitowski.Operatorˆ
A
jesthermitowski,gdydladowolnychfunkcjifalowychψiφzachodzirelacja
∞
∞
∫
ψ∗(x)ˆ
Aφ(x)dx=
∫
[ˆ
Aψ(x)]∗φ(x)dx.
(1.6)
–∞
–∞
UżywającnotacjiDiraca,powyższąrównośćzapisujemyzwięźlejwpostaci
(tabl.1.2):
(ψ|ˆ
Aφ)=(ˆ
Aψ|φ).
(1.7)
Tablica1.2.NotacjaDiraca
∫ψ∗φdt≡(ψ|φ)
∫ψ∗ˆ
Aφdt≡(ψ|ˆ
lub(ψ|ˆ
Aφ)
A|φ)
Q=|ψ)(ψ|
ˆ
1=Σ
k
|ψk)(ψk|
iloczynskalarnyfunkcji(czyliwektorów
wprzestrzeniHilberta)ψiφ
iloczynskalarnyfunkcjiψiˆ
Aφlubinaczej
elementmacierzowyoperatoraˆ
A
operatorrzutowaniawprzestrzeniHilbertana
wektorψ
spektralnerozwinięciejedynki;jegosens
najłatwiejzobaczyć,działającobiemastronami
nadowolnąfunkcjęX:
X=Σ
k
|ψk)(ψk|X)=Σ
k
|ψk)ck.
Wnotacjitej32(tabl.1.2)kluczowąrolęodgrywająkoncepcjewektorówbra:
(|iket:|),oznaczającychodpowiednioψ∗≡(ψ|iφ≡|φ),przyczym
napisaniebraiketuoboksiebietak:(ψ||φ)oznacza(ψ|φ),czyliiloczynskalarny
ψiφwprzestrzeniunitarnej(dodatekB),napisaniezaśichtak:|ψ)(φ|oznacza
operatorˆ
Q=|ψ)(φ|,bojegodziałanienafunkcjęξ=|ξ)—tofunkcjaψ
pomnożonaprzezstałąc=(φ|ξ),codajesekwencjanaturalnychprzekształceń:
Qξ=|ψ)(φ|ξ=|ψ)(φ|ξ)=cψ.
ˆ
32Jejpogłębioneznaczeniemożnaznaleźćwpodręcznikachmechanikikwantowej,np.Roman
F.Nalewajski,„Podstawyimetodychemiikwantowej”,Wyd.NaukowePWN,Warszawa2001,s.31.W
tympodręcznikutraktujemytęnotacjęutylitarnie.
