Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.4.Egipskageometria
3.Archimedes(około287
-
212p.n.e.)stwierdzawswojejksiąż-
ceOwymierzaniukoła:Polekołatakmasiędokwadratu
jegośrednicyjak11do14.Pokaż,żetaregułageometryczna
prowadzido
jakowartościπ.
4.Arjabhata,hinduskimatematykzVIwieku,miałnastępu-
jącąproceduręznajdowaniapowierzchniokręgu:Połowa
obwodupomnożonaprzezpołowęśrednicytopowierzch-
niaokręgu.Jakdokładnajesttareguła?
5.Babilończycyznalitakżewzórnaobjętośćściętejpiramidy
opodstawiekwadratowej,akonkretnie
,
gdziehtowysokość,zaśaibtodługościbokówkwadratu
wpodstawachgórnejidolnej.Pokaż,żeredukujetowzór
dopostacizpapirusumoskiewskiego.
6.Zostałaodkrytababilońskatabliczka,naktórejobjętośćścię-
tegostożkajestokreślonazapomocą(błędnego)wzoru:
,
gdziehjestwysokością,arorazRtopromieniepodstaw.
Przyjmijh=6,r=4orazR=2iporównajwynikbabi-
lońskizwynikiemzpoprawnegowzoru
.
7.HeronzAleksandrii(ok.75rokn.e.)znalazłobjętośćstoż-
kaściętegodziękiobliczeniomrównoważnymdowzoru
,
gdziehjestwysokością,arorazRtopromieniepodstaw.
Jeślijakoπprzyjąć,jakąodpowiedźotrzymałbyHeron
dlah=6,r=4orazR=2?
8.Tekstproblemu10zpapirusumoskiewskiegowniektórych
miejscachjestnieczytelny,aleobliczeniasąwykonaneprzy
zastosowaniuekwiwalentuwzoru
,
którywydajesiębyćzaprojektowanytak,abywyznaczyćpole
powierzchnihemisferycznegokoszykaośrednicy
.
Pokaż,żejeśli
zostanieprzyjętejakoπ,dajetopopraw-
nywzórnapowierzchnięhemisfery,akonkretnieπd2/2.
9.(a)Rozpoczynającodwzorunapowierzchniętrójkąta
napodstawiedwóchbokówikątamiedzynimi,
wykorzystajpokazanyrysunekdowyprowadzeniawzoru
61
napolepowierzchniczworokąta.
A
d
D
a
c
B
b
C
(b)Pokaż,żejeśliAreprezentujepowierzchnięczworokąta
zczęści(a),to
przyczymrównośćjestspełnionawtedyitylkowtedy,gdy
czworobokjestprostokątem.Zatem,starożytnywzórnapole
powierzchniczworokątaprzeszacowujepolawszystkich
czworościanów,któreniesąprostokątne,takżepoborcy
podatkowimoglinadalużywaćtegowygodnegowzoru
długopotem,jakzaczęlipodejrzewać,żenigdyniespowodu-
jeniedoszacowaniaczworokątnychpól.
10.(a)Udowodnij,żewśródtrójkątówmającychdwadaneboki
odługościaibnajwiększemożliwepolepowierzchni
maten,wktórymtebokitworząkątprosty.
(b)Innywzórnapolepowierzchnidowolnegoczworoboku
mapostać
A2=(S
-
a)(S
-
b)(S
-
c)(S
-
d)
-
T
gdzie
jestpołowąśrednicy,a
T=abcdcos2(A+C)/2,
gdzieAiCtoparakątówprzyprzeciwległychwierzchołkach
czworoboku.Pokaż,żemaksymalnemożliwepolepowierzch-
niodpowiadającedanymwartościoma,b,cidwystępuje,
gdykątyAiC(awięctakżeBiD)sąuzupełniające.
11.PodczaspomiarówWielkiejPiramidyCharlesPiazziSmyth
(nazwanyposwoimojcuchrzestnym,CharlesiePiazzim,
odkrywcypierwszejznanejasteroidy,Ceres)znalazłniszę
wkomnaciekrólowej,któramiaładługość185calipirami-
dowych.Użyjtegowymiaru,abyzweryfikowaćdokład-
nośćnastępującychzałożeńSmythazawartychwjegoksiąż-
ceNaszedziedzictwoWielkiejPiramidy:
(a)Długośćwielkiejniszypomnożonąprzez10πjestrówna
wysokościWielkiejPiramidy.
(b)Pierwiastekkwadratowyz10-krotnejwysokościpółnoc-
nejścianykomnatykrólowej(182,4calepiramidowe)
podzielonyprzezdługośćwielkiejniszyjestrównyπ,czyli
.
