Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
52
1.KRZYWEBÉZIERA
WartociwspółczynnikówdwumianowychNewtonasątuobliczanewyłącznieza
pomocądziałańnaliczbachcałkowitych,wszczególnociwynikdzieleniawostat-
niejinstrukcjiwpętlijestzawszeliczbącałkowitą.Należyjednakuważać;jeli
programużywaliczbstałopozycyjnych16-lub32-bitowych(zeznakiem),tomak-
symalnystopieńkrzywej,dlaktóregoniewystąpinadmiarwobliczaniuwspół-
czynnikówdwumianowych,jestrównyodpowiednio14albo29.Inna,jeszcze
trochęszybsza5)metodatoużyciewspółczynnikówstablicowanych(wpreproce-
singu)naprzykładzapomocątrójkątaPascala.Możemywtedyobliczaćpunktyna
krzywychdostopnia17lub33,choćwpraktycznymmodelowaniurzadkostosuje
siękrzyweażtakwysokiegostopnia.
Rozważmywzór(1.25)(zobaczteżrys.1.12),którywyrażapochodnąkrzywej
BézierazapomocąpunktówwyznaczonychprzezalgorytmdeCasteljau.Punkt
!(t)iwektor!′(t)możemywyznaczyćkosztemO(n)operacji,obliczającpunkty
!
0
(n11)
1
n11
i10
Σ
!iB
i
n11
(t),
!
(n11)
1
1
i10
n11
Σ
!i+1B
i
n11
(t),
zapomocąopisanegowyżejschematuHornera,anastępnieobliczając
!(t)1(11t)!
(n11)
0
+t!
1
(n11)
,
109020Obniżeniestopniakrzywej
!′(t)1n(!(n11)
1
1!
(n11)
0
).
Operacjaodwrotnadopodwyższeniastopnianazywasię(jakmożnasięspodzie-
wać)obniżeniemstopnia.Mającdanepunktykontrolne^
!07...7^
!n+1,krzywej^
!
stopnian+1,poszukujemykrzywej!stopnianpołożonejbliskokrzywej^
!.Jestto
zadanieaproksymacji(wsensiepewnejustalonejmetrykiwprzestrzenikrzywych
stopnian+1).Możetobyćzadanieaproksymacjiredniokwadratowej,którepo-
leganaznalezieniukrzywej!,dlaktórejliczba
(^
!1!7^
!1!>1∫
0
1
"^
!(t)1!(t)"2
2dt
jestnajmniejsza.Punktykontrolnetejkrzywejspełniająukładrównańnormalnych
n
n+1
Σ
(Bn
i7Bn
j>!j1
Σ
(Bn
i7Bn+1
j
>^
!j7
j10
j10
i107...7n,
któregowspółczynnikimożemyobliczyćsposobemprzedstawionymwp.B.1.5.
Macierztegoukładujestpełna.
5)Wykonaneprzezemnieeksperymentyzkomputeremniepotwierdziłytegooczywistegostwier-
dzenia.
