Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
1.KRZYWEBÉZIERA
Okazujesię,żepunktykontrolnekrzywejBézierasąwspółczynnikamikrzywej
wbaziewielomianówBernsteina,tj.
!(t)1
Σ
i10
n
!iB
i(t).
n
(1.4)
Dowódindukcyjny:Dlan10idlakażdegotjest!(t)1Σ
0
i10!0B
0(t)1!0.
0
JeliterazmamyI(t)1Σ
i10!iB
n11
i
n11
(t)orazr(t)1Σ
i10!i+1B
n11
i
n11
(t),tobio-
rąc(takjakwostatnimkrokualgorytmudeCasteljau)!(t)1(11t)I(t)+tr(t)
otrzymujemy
!(t)1(11t)I(t)+tr(t)1
n11
n11
(11t)
Σ
!iB
i
n11
(t)+t
Σ
!i+1B
i
n11
(t)1
i10
i10
n11
!0(11t)B
0
n11
(t)+
Σ
!i((11t)B
i
n11
(t)+tBn11
i11(t))+!ntB
n11(t)1
n11
i11
Σ
i10
n
!iB
i(t).✷
n
1030WłasnościwielomianówBernsteina
PonieważwielomianyBernsteinasąfunkcjamibazowymi,naktórychopierasięre-
prezentacjaBézierakrzywychwielomianowych,poznaniewłasnocitychfunkcji
umożliwinamzbadaniewłasnocitejreprezentacji.Niektórewłasnociponiżejsą
podanezpełnymdowodem,innenie.Każdybraklubskrótdowodujestzaprosze-
niemCzytelnikadoćwiczenia2).
Rozkładjedynki:
Σ
i10
n
Bn
i(t)11.
Dodatniość:
t∈[071]
⇒
Bn
i(t)≥0.
(1.5)
(1.6)
2)Pisząctenrozdział(iwszystkieinne),wykonałemlubodtworzyłemstosownerachunki,dokłada-
jącwszelkichstarań,abysięprzytymniemylić.Możnaoczywiciekorzystaćzgotowychwzorów,
jelijednakmimowszystkosąwnichbłędy,tomogąspowodowaćkłopot,zktórymporadzisobie
ten,ktoumietosprawdzić.Zobaczteżtrzeci,siódmyorazostatniakapitprzedmowy.
