Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
1.KRZYWEBÉZIERA
regomożemyotrzymaćkrzywą,aletostwierdzenienaraziejestnieuzasadnione.
Podanaprocedurajestkonstrukcjąjednegopunktukrzywejitrzebaudowodnić,że
otrzymanełamaneumożliwiająwyznaczeniewszystkichinnychjejpunktów.
AlgorytmdeCasteljaumożemyzapisaćnastępująco:
{!
i
(0)
1!idlai107...7n.}
forj:=1tondo
fori:=0ton1jdo
!
(j)
i
:=(11t)!
i
(j11)
+t!
i+1
(j11)
;
{!(t)1!
0.}
(n)
Punktydanenapoczątkusąnazywanepunktamikontrolnymi,awyjciowa
łamanatołamanakontrolnakrzywejBéziera.PatrzącnaalgorytmdeCasteljau,
łatwomożemyzauważyć,że
krzywaBézierajestwielomianowa:jelijestn+1punktówkontrolnych,to
współrzędnekrzywejsąopisaneprzezwielomianyzmiennejtstopnianiewięk-
szegoniżn;zatemnazwankrzywaBéziera”dotyczykonkretnejreprezentacji
krzywejwielomianowej;
krzywamawłasnośćotoczkiwypukłej:dlat∈[071]punkt!(t)leżywotoczce
wypukłejpunktów!07...7!n;
konstrukcjakrzywejjestafinicznieniezmiennicza:obrazpunktów!07...7!n
wdowolnymprzekształceniuafinicznymwyznaczaobrazkrzywej!wtym
przekształceniu;
zachodziinterpolacjapunktówkońcowychłamanej:!(0)1!0,!(1)1!n.
1020WielomianyBernsteina
WielomianyBernsteina1)stopniansązdefiniowanewzorem
Bn
i(t)
def
1(
n
i)ti(11t)n1idlai107...7n.
(1.1)
Wielomianytesąliniowoniezależne,aponieważjestichn+1,stanowiąbazę
przestrzeniwielomianówstopnianiewiększegoniżn.Przykładysąpokazanena
rysunku1.2.Dlawygodyprzyjmujesięteżumowę
Bn
i(t)
def
10
dlai<0lubi>n.
(1.2)
1)WanaliziematematycznejokrelenienwielomianyBernsteina”oznaczawielomianyEn,które
S.N.BernsteinwprowadziłwswoimdowodzietwierdzeniaWeierstrassa(p.1.9.6).Zgodnieztą
terminologiąfunkcjeBn
itonwielomianybazoweBernsteina”,alewwielupublikacjachnatemat
modelowaniageometrycznegosłowonbazowe”wtymmiejscuzanikło.
