Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.9.Uzupełnienia
61
109060TwierdzenieaproksymacyjneWeierstrassa
DladowolnejkrzywejciągłejmożnawskazaćkrzywąBéziera(dostateczniewyso-
kiegostopnia),któraprzybliżykrzywąwyjciowązdowolnąokrelonądokładno-
cią.Wtymceluwystarczywybraćłamanąkontrolną,którejwierzchołkisąpunk-
tamikrzywejwyjciowejisąnaniejrozłożonedostateczniegęsto.Twierdzenie
idowódsąprzedstawionedlafunkcjiskalarnych,przyczymuogólnienienakrzywe
jestoczywiste.IdeategodowodupochodziodBernsteina[16],któregonazwiskiem
okrelasięwielomianyużytedoprzedstawieniakrzywychBéziera(zobaczprzypis
nas.30).
TwierdzenieWeierstrassa0Dowolnąfunkcjęciągłąnaprzedzialedomkniętym
[a7b]możnaprzybliżyćwcałymtymprzedziale,zbłędemmniejszymniżdowolna
określonaliczbaε>0,wielomianemdostateczniewysokiegostopnia.
Dowód0Niechfoznaczadanąfunkcję.Możemyzałożyć(bezstratyogólnoci),
że[a7b]1[071]iokrelićdlakażdegon>0funkcję
En(t)1
Σ
i10
n
f(i/n)Bn
i(t),
którajestwielomianemstopniaconajwyżejn.Zfaktu,żesumawielomianów
Bernsteinajestrówna1,wynikaże
n
f(t)1En(t)1
Σ
(f(t)1f(i/n))B
i(t).
n
i10
Funkcjafjestjednostajnieciągław[071],azatemjestograniczona,skądwynika,
żeliczbaM1maxt∈[071]f(t)1mint∈[071]f(t)jestskończona.Ponadtodladanego
ε>0istniejeliczbaδ>0,takażedladowolnycht17t2∈[071]jest
|t11t2|<δ
⇒
|f(t1)1f(t2)|<
1
2ε.
Dlaustalonegot∈[071]możemypodzielićzbiór{0717...7n}nadwazbiory:
A1{i:|t1i/n|<δ}iB1{i:|t1i/n|≥δ}.Zatem
f(t)1En(t)1Σ
(f(t)1f(i/n))B
i(t)
n
+Σ
(f(t)1f(i/n))B
i(t)
n
.
i∈A
\
śr
J
i∈B
\
śr
J
a(t)
b(t)
Możemyoszacować|a(t)|<1
2εΣ
i∈ABn
i(t)≤1
2εoraz
|b(t)|≤MΣ
Bn
i(t)1MΣ
(t1i/n)2
(t1i/n)2Bn
i(t)≤M
δ2Σ
(t1i/n)2Bn
i(t).
i∈B
i∈B
i∈B
