Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
0.2.Reprezentacjekrzywychipowierzchniparametrycznych
21
v2
0
v3
v1
v0
!(t)1v0+v1t+v2t2+v3t3
t∈[071]
Rysunek0.2.Reprezentacjakrzywejwielomianowejwbaziepotęgowej
Krzyweparametrycznewprzestrzeniliniowej(np.n)możnaokrelaćwpo-
stacisumy
!(t)1v0f0(t)+···+vkfk(t),
(0.1)
którejskładnikisąiloczynamiustalonychfunkcjif07...7fk,okrelonychwzbio-
rze,którymabyćdziedzinąkrzywej,orazdowolniewybranychwektorówv07...7
vk∈
n(rys.0.2).Wpraktyceprzyjmujesięniezależnyliniowozbiórfunkcji(np.
wielomianów),którywzwiązkuztymjestbaząpewnejprzestrzeniliniowej(której
elementysąfunkcjami—wraziepotrzebyzajrzyjdododatkuA).Dlategofunkcje
tesąnazywanefunkcjamibazowymi.
Dlaustalonegotpunkt!(t)krzywejjestwektorem—kombinacjąliniową
wektorówvi,owspółczynnikachrównychwartociomfunkcjifiwpunkcie(dzie-
dziny)t.Nawzór(0.1)możnateżspojrzećinaczej.Każdazewspółrzędnych
krzywej!jestopisanaprzezfunkcję,którajestpewnąkombinacjąliniowąfunk-
cjifi.Współczynnikitejkombinacjitoodpowiedniewspółrzędnewektorówvi,
awięckrzywą!możnauznaćzauogólnionąkombinacjęliniowąfunkcjifi,której
współczynnikamisąwektoryvi.Takiespojrzenieułatwiabadaniewłasnocikrzy-
wych.Jelinaprzykładstwierdzimy,żewszystkiefunkcjefimająciągłąpochodną
(sąklasyC1),skądwynika,żeichdowolnakombinacjaliniowajestklasyC1,to
równieżkrzywa!jestklasyC1;krzywaopisującajejpochodnąjestciągła.
Opisanywyżejsposóbokrelaniakrzywychjestzbytogólny,abybyłwygodny.
Jestemyprzyzwyczajenidoprzebywaniawprzestrzeni,którejżadenpunktnie
jest
apriori
wyróżnionyiktórawzwiązkuztymbardziejprzypominaprzestrzeń
afinicznąniżliniową.Układwspółrzędnychmożemywniejwybieraćdowolnie,
alekrzywaokrelonawzorem(0.1)zależyodwyboruukładu.Ponadto,wpraw-
dzieprzekształcenieliniowekrzywej,naprzykładobrót,jestłatwedowykonania
(wystarczyodpowiednioobrócićwszystkiewektoryvi),alesposóbwykonania
równiepotrzebnegoprzekształcenia,jakimjestprzesunięcie,zwykleniejestoczy-
wisty.Cowięcej,jelijedynąfunkcjąstałąwprzestrzenirozpiętejprzezfunkcje
