Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.7.Pochodnewyższegorzędu
!0
!1
!(t)
0
t
6!′′(t)
1
!2
1
!3
Rysunek1.15.Wyznaczaniepochodnejrzędu2
49
Jeli!01···1!kdlak>0,tokrzywamaosobliwoćwpunkciet10.
Zwyjątkiemprzypadku,gdyk1n,stycznadokrzywejwtympunkciejest
jednoznacznieokrelonaizawieraodcinek!0!k+1.
Udowodnimynierównoć(1.16),któraopisujewłasnoćrozszerzonejotoczki
krzywejBéziera.Wtymcelurozważmywielomianp(t)1Σ
n
i10piB
i(t),którego
n
współczynnikip07...7pnspełniająwarunek|pi|≤rdlapewnegor.Zwarunku
tegowynika,żedlak>0orazi107...7n1k
|∆kp
i|≤|∆k11p
i+1|+|∆k11p
i|≤2kr.
Napodstawiewzoru(1.26)iwłasnociotoczkiwypukłej,dlat∈[071]możemy
oszacować
|
|
|
dtkp(t)
dk
|
|
|
≤
(n1k)!·2kr.
n!
PoprzedstawieniuwielomianupwpostaciskończonegoszereguTaylora,
p(t)11
0!p(1)+1
1!p′(1)(t11)+···+1
n!p(n)(1)(t11)n,
dlat≥1możemyoszacować
|p(t)|≤r((
n
0)20(t11)0+···+(
n
n)2n(t11)n)1r(2t11)n.
Wpodobnysposóbmożemyuzyskaćoszacowanie|p(t)|≤r(112t)ndlat≤0.
Dowiedzionanierównoćjestrównocią,jelipi1(11)irdlai107...7n.✷
Przyjrzyjmysięjeszczewzorowi(1.26).
Pochodnak-tegorzędukrzywej
!(t)1Σ
i10aitijestrównad
n
dtk!(0)1k!ak1
k
(n1k)!∆k!
n!
0,czyliak1(
n
k)∆k!0.
Stądotrzymujemy
!(t)1
Σ
i10
n
!iB
i(t)1
n
Σ
i10
n
(
n
i)∆i!0ti.
(1.30)
