Podstawy modelowania krzywych i powierzchni

Przemysław Kiciak

Uzyskaj dostęp

Zakup książkę

ISBN/ISSN:

978-83-01-20350-4

DOI:

Wydawnictwo:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania:

2019

Liczba stron:

650

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Bibliografia:

Kiciak, Przemysław. Podstawy modelowania krzywych i powierzchni. Red. . Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2019, 650 s. ISBN 978-83-01-20350-4

Bibliografia refWorks:

RT Book, Whole

SR Electronic(1)

A1 Kiciak, P.

T1 Podstawy modelowania krzywych i powierzchni

PB Wydawnictwo Naukowe PWN

PP Warszawa

YR 2019

SN 978-83-01-20350-4

Bibliografia BibTex:

@Book{ 211148, author = "Kiciak, Przemysław", editor = "", title = "Podstawy modelowania krzywych i powierzchni", publisher = "Wydawnictwo Naukowe PWN", year = "2019", address = "Warszawa", isbn = "978-83-01-20350-4" }

Bibliografia endNote:

TY - BOOK

AU - Kiciak, Przemysław

ED -

TI - Podstawy modelowania krzywych i powierzchni

PB - Wydawnictwo Naukowe PWN

CY - Warszawa

PY - 2019

SN - 978-83-01-20350-4

ER -

Netografia (standard APA):

Kiciak, Przemysław. Podstawy modelowania krzywych i powierzchni [baza danych online] Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2019 [dostęp: 03 07 2024]. Dostęp w Ibuk Libra: https://libra.ibuk.pl/reader/podstawy-modelowania-krzywych-i-powierzchni-przemyslaw-kiciak-211148.

CAD, krzywe, powierzchnie, grafika komputerowa, modelowanie krzywych i powierzchni, płaty Béziera, algorytm Lane’a–Riesenfelda, krzywe B-sklejane, BSTools, projektowanie wspomagane komputerem

Publikacja Wydawnictwa WNT, dodruk Wydawnictwo Naukowe PWN.

Czytelnicy poprzednich wydań znajdą tu m.in. uzupełnienia na temat wymiernych trójkątnych płatów Béziera na sferze, wstawiania węzłów za pomocą algorytmu Lane’a–Riesenf...

Więcej

ISBN/ISSN:

978-83-01-20350-4

DOI:

Wydawnictwo:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania:

2019

Liczba stron:

650

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Przedmowa14
Przedmowa do wydania trzeciego 18
0. Wiadomości wstępne 20
0.1. Reprezentacje figur geometrycznych20
0.2. Reprezentacje krzywych i powierzchni parametrycznych21
0.3. Zadanie interpolacyjne Lagrange’a25
0.3.1. Algorytm Aitkena25
0.3.2. Własności wielomianowych krzywych interpolacyjnych27
0.4. Obcinanie narożników28
1. Krzywe Béziera30
1.1. Algorytm de Casteljau30
1.2. Wielomiany Bernsteina31
1.3. Własności wielomianów Bernsteina33
1.4. Podwyższenie stopnia37
1.5. Blossoming41
1.5.1. Formy biegunowe i diagonalne41
1.5.2. Algorytm de Casteljau i podział krzywej42
1.6. Pochodna krzywej Béziera46
1.5.3. Formy biegunowe i podwyższenie stopnia46
1.7. Pochodne wyższego rzędu48
1.8. Łączenie krzywych Béziera51
1.9. Uzupełnienia52
1.9.1. Schemat Hornera w bazie wielomianów Bernsteina52
1.9.2. Obniżenie stopnia krzywej53
1.9.3. Formy biegunowe i pochodne55
1.9.4. Krzywizna i skręcenie krzywej Béziera58
1.9.5. Twierdzenie Menelaosa61
1.9.6. Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa62
2. Wymierne krzywe Béziera 64
2.1. Krzywe jednorodne i wymierne64
2.2. Jednorodne i wymierne krzywe Béziera66
2.3. Kształtowanie wymiernych krzywych Béziera69
2.4. Własności wymiernych krzywych Béziera70
2.5. Podwyższenie i obniżenie stopnia71
2.6. Reparametryzacja krzywej wymiernej72
2.7. Pochodne krzywych wymiernych73
2.8. Łączenie wymiernych krzywych Béziera74
2.9. Uzupełnienia75
2.9.1. Dwustosunek i zasadnicze twierdzenie geometrii rzutowej75
2.9.2. Reprezentacja krzywej wymiernej przy użyciu punktów pomocniczych76
2.9.3. Reprezentacja krzywych stożkowych78
2.9.4. Obcinanie krzywych80
2.9.5. Rzutowanie krzywych83
2.9.6. Procedura rysowania krzywych84
2.9.7. Formy biegunowe krzywych wymiernych89
2.9.8. Krzywizna i skręcenie wymiernej krzywej Béziera93
3. Trójkątne płaty Béziera 96
3.1. Określenie płata trójkątnego96
3.2. Algorytm de Casteljau dla płatów trójkątnych97
3.3. Podział płata trójkątnego i blossoming99
3.4. Podwyższenie stopnia płata101
3.5. Pochodne płatów trójkątnych102
3.6. Łączenie płatów trójkątnych105
3.7. Wymierne trójkątne płaty Béziera106
3.8. Uzupełnienia108
3.8.1. Szybkie obliczanie punktów płata trójkątnego108
3.8.2. Formy biegunowe i krzywizny płata109
3.8.3. Reparametryzacja płata wymiernego112
3.8.4. Trójkąty na sferze112
4. Tensorowe płaty Béziera 116
4.1. Określenie płata116
4.2. Własności płatów wynikające z określenia tensorowego117
4.2.1. Wyznaczanie punktów płata118
4.2.2. Podwyższenie stopnia płata120
4.2.3. Pochodne cząstkowe płatów Béziera121
4.2.4. Podział płata Béziera122
4.2.5. Zasady łączenia płatów Béziera z ciągłościąCk124
4.3. Płaszczyzna styczna do płatów zdegenerowanych125
4.4. Wymierne prostokątne płaty Béziera126
4.4.1. Podstawowe własności płatów wymiernych127
4.4.2. Obliczanie pochodnych płata wymiernego128
4.4.3. Płaszczyzna styczna do płata wymiernego129
4.5. Uzupełnienia131
4.5.1. Przetwarzanie tablic punktów kontrolnych131
4.5.2. Znajdowanie tensorowej reprezentacji płatów trójkątnych134
4.5.3. Swobodna deformacja138
4.5.4. Śledzenie promieni142
4.5.5. Wyznaczanie punktów przecięcia krzywych148
4.5.6. Rozwiązywanie układów równań algebraicznych149
4.5.7. Wyznaczanie przecięć powierzchni160
5. Krzywe B-sklejane 174
5.1. Konstrukcja gładko połączonych krzywych Béziera176
5.2. Zastosowanie różnic dzielonych179
5.2.1. Funkcje sklejane i baza obciętych potęg179
5.2.2. Określenie funkcji B-sklejanych182
5.2.3. Wzór Mansfielda–de Boora–Coxa186
5.2.4. Algorytm de Boora187
5.2.5. Własności funkcji i krzywych B-sklejanych189
5.2.6. Pochodne krzywej B-sklejanej192
5.3. Wstawianie węzłów196
5.3.1. Procedura wstawiania węzła196
5.3.2. Związek wstawiania węzła z algorytmem de Boora200
5.3.3. Zmiana bazy po wstawieniu węzła201
5.3.4. Usuwanie węzła205
5.3.5. Zastosowania procedury wstawiania węzła206
5.4. Blossoming209
5.4.1. Formy biegunowe funkcji i krzywych sklejanych209
5.4.2. Ciągłość funkcji sklejanych w węzłach212
5.4.3. Formy biegunowe i wstawianie węzłów218
5.4.4. Algorytm Oslo218
5.4.5. Zbieżność procesu wstawiania węzłów223
5.4.6. Podwyższenie stopnia228
5.5. Funkcje B-sklejane i sympleksy229
5.5.1. Funkcje miary przekroju229
5.5.2. Sympleksy i wielomiany Bernsteina230
5.5.3. Wielościany, wielomiany i funkcje sklejane232
5.5.4. Sympleksowa definicja funkcji B-sklejanych233
5.5.5. Związek sympleksów z różnicami dzielonymi234
5.5.6. Całkowanie funkcji B-sklejanych240
5.5.7. Ciągłość funkcji sklejanych w węzłach240
5.5.8. Rozkład jedynki241
5.5.9. Własność minimalnego no´snika242
5.5.10. Wstawianie węzła243
5.5.11. Podwyższenie stopnia245
5.5.12. Sympleksowy dowód wzoru Mansfielda–de Boora–Coxa247
5.6. Krzywe B-sklejane z węzłami równoodległymi251
5.7. Wymierne krzywe B-sklejane (krzywe NURBS)256
5.8. Uzupełnienia261
5.8.1. Krzywe zamknięte261
5.8.2. Interpolacyjne krzywe B-sklejane trzeciego stopnia262
5.8.3. Twierdzenie Schoenberga–Whitney265
5.8.4. Aproksymacyjne krzywe B-sklejane267
5.8.5. Obliczanie długości krzywych269
6. Powierzchnie B-sklejane 272
6.1. Określenie płata B-sklejanego272
6.2. Podstawowe własności płatów B-sklejanych273
6.3. Wymierne powierzchnie B-sklejane (powierzchnie NURBS)275
6.4. Przykłady konstrukcji płatów B-sklejanych276
6.4.1. Powierzchnie rozpinane276
6.4.2. Powierzchnie zakreślane282
6.4.3. Produkt sferyczny i powierzchnie obrotowe285
6.5. Powierzchnie reprezentowane przez siatki287
6.5.1. Płaty tensorowe z węzłami równoodległymi287
6.5.2. Siatki nieregularne289
6.5.3. Zagęszczanie siatek290
6.5.4. Elementy szczególne w siatkach292
6.5.5. Powierzchnia graniczna293
6.6. Uzupełnienia295
6.6.1. Momenty i twierdzenia Guldina295
6.6.2. Powierzchnie prostokreślne i rozwijalne299
7. Krzywe i powierzchnie w reprezentacji Hermite’a 302
7.1. Lokalne bazy Hermite’a302
7.2. Interpolacyjne krzywe sklejane trzeciego stopnia304
7.2.1. Związek reprezentacji Hermite’a i Béziera krzywych trzeciego stopnia304
7.2.2. Równania ciągłości pochodnej drugiego rzędu305
7.2.3. Warunki brzegowe306
7.2.4. Dobór węzłów dla krzywych interpolacyjnych310
7.2.5. Własność minimalnej energii311
7.2.6. Błąd aproksymacji dla interpolacyjnych funkcji sklejanych313
7.3. Płaty określone przez warunki interpolacyjne318
7.3.1. Płaty Coonsa318
7.3.2. Płaty bikubiczne w reprezentacji Hermite’a323
7.3.3. Konstrukcja powierzchni złożonych z płatów bikubicznych325
7.3.4. Płaty Gregory’ego329
7.3.5. Płaty Browna332
8. Ciągłość geometryczna krzywych 334
8.1. Pojęcie ciągłości geometrycznej334
8.1.1. Związek ciągłości parametryzacji z ciągłością˛ geometryczną335
8.1.2. Krzywe geometrycznie sklejane336
8.2. Równania ciągłości geometrycznej krzywych338
8.2.1. Wzór Fàa di Bruno338
8.2.2. Łączenie zreparametryzowanych krzywych339
8.3. Interpretacja ciągłości geometrycznej krzywych343
8.4. Krzywe γ -sklejane346
8.5. Krzywe β-sklejane349
8.5.1. Definicja350
8.5.2. Znajdowanie łuków wielomianowych krzywej β-sklejanej351
8.5.3. Konstrukcja funkcji β-sklejanych353
8.5.4. Istnienie i jednoznaczność funkcji β-sklejanych359
8.5.5. Krzywe β-sklejane z globalnymi parametrami połączenia361
8.5.6. Dalsze własności i przykłady363
8.5.7. Wstawianie węzłów366
8.6. Krzywe ν-sklejane368
8.7. Tensorowe powierzchnie geometrycznie sklejane370
9. Ciągłość geometryczna powierzchni 372
9.1. Równania ciągłości geometrycznej372
9.1.1. Uogólniony wzór Fàa di Bruno372
9.1.2. Równania ciągłości geometrycznej połączenia pary płatów373
9.2. Interpretacja ciągłości geometrycznej powierzchni376
9.3. Równania ciągłości dla płatów wielomianowych378
9.3.1. Podstawy algebraiczne378
9.3.2. Rozwiązania równań ciągłości381
9.4. Konstrukcja pary gładko połączonych płatów386
9.4.1. Konstrukcja pary płatów wielomianowych połączonych z ciągłością G1388
9.4.2. Konstrukcja pary płatów wielomianowych połączonych z ciągłością˛G2391
9.4.3. Konstrukcja pary gładko połączonych płatów wymiernych392
9.5. Geometrycznie ciągłe powierzchnie wypełniające395
9.5.1. Wypełnianie przerwy między płatami B-sklejanymi395
9.5.2. Powierzchnie wypełniające dla płatów obciętych400
9.6. Ciągłość geometryczna powierzchni granicznych408
9.7. Warunki zgodności G1 we wspólnym narożniku412
9.7.1. Lokalne warunki zgodności G1413
9.7.2. Globalne warunki zgodności G1415
9.8. Warunki zgodności drugiego i wyższych rzędów420
9.8.1. Lokalne warunki zgodności G2420
9.8.2. Funkcje sklejane dwóch zmiennych423
9.8.3. Trygonometryczne funkcje sklejane431
9.8.4. Trygonometryczne funkcje sklejane i warunki zgodności G1435
9.8.5. Trygonometryczne funkcje sklejane i warunki zgodności G2438
9.9. Wypełnianie wielokątnych otworów451
9.9.1. Schemat Hahna451
9.9.2. Podstawy teoretyczne453
9.9.3. Konstrukcja przestrzeni klasy G1 i G2457
9.9.4. Minimalizacja form kwadratowych474
9.9.5. Optymalizacja kształtu483
9.9.6. Przykładowe wyniki488
A. Przegląd podstawowych pojęc´ algebry liniowej492
A.1. Przestrzenie liniowe492
A.1.1. Macierze494
A.1.2. Układy współrzędnych495
A.1.3. Przekształcenia liniowe496
A.1.4. Funkcjonały i przestrzeń sprzężona497
A.1.5. Normy497
A.1.6. Iloczyny skalarne498
A.1.7. Przekształcenia izometryczne500
A.1.8. Wyznaczniki500
A.1.9. Iloczyny wektorowe i zewnętrzne502
A.1.10. Interpretacja geometryczna funkcjonału504
A.1.11. Układy równań liniowych505
A.1.12. Algebraiczne zagadnienia własne509
A.2. Przestrzenie afiniczne510
A.2.1. Współrzędne kartezjańskie i jednorodne512
A.2.2. Współrzędne barycentryczne513
A.2.3. Przekształcenia afiniczne516
A.2.4. Przekształcenia afiniczne przestrzeni trójwymiarowej518
A.2.5. Mierzenie zbiorów525
B. Działania na wielomianach w bazach Bernsteina 530
B.1. Działania na wielomianach530
B.1.1. Mnożenie i dzielenie530
B.1.2. Mnożenie wielomianów wielu zmiennych533
B.1.3. Dodawanie i odejmowanie533
B.1.4. Algorytm Euklidesa534
B.1.5. Obliczanie iloczynu skalarnego535
B.2. Działania na funkcjach wektorowych536
B.2.1. Mnożenie wielomianu i krzywej536
B.2.2. Wyznaczanie płatów Béziera opisujących wektory normalne538
B.3. Działania na funkcjach sklejanych544
B.3.1. Mnożenie funkcji sklejanych544
B.3.2. Obliczanie iloczynu skalarnego545
C. Elementy geometrii różniczkowej546
C.1. Krzywizny krzywych546
C.1.1. Parametryzacja łukowa546
C.1.2. Równania Freneta547
C.1.3. Krzywizna krzywej płaskiej549
C.1.4. Krzywizny krzywej przestrzennej550
C.2. Krzywizny powierzchni551
C.2.1. Różniczki płata551
C.2.2. Pierwsza i druga forma podstawowa553
C.2.3. Krzywizna normalna powierzchni555
C.2.4. Krzywizny i kierunki główne powierzchni557
C.2.5. Klasyfikacja punktów powierzchni558
D. Różnice dzielone 560
D.1. Schemat Hornera i bazy Newtona561
D.2. Określenie i własności różnic dzielonych563
D.3. Algorytm różnic dzielonych566
D.4. Reszta interpolacyjna568
D.5. Wzór Leibniza569
D.6. Różnice dzielone, sympleksy i funkcje B-sklejane570
E. Metody numeryczne 572
E.1. Arytmetyka zmiennopozycyjna572
E.1.1. Uwagi o błędach reprezentacji i zaokrągleń573
E.2. Rozwiązywanie równań liniowych576
E.2.1. Układy z macierzą trójkątną576
E.2.2. Eliminacja Gaussa577
E.2.3. Inne metody581
E.3. Rozwiązywanie liniowych zadań najmniejszych kwadratów583
E.3.1. Zadania regularne583
E.3.2. Zadania dualne586
E.3.3. Zadania regularne z więzami587
E.4. Rozwiązywanie równań nieliniowych588
E.4.1. Metoda bisekcji590
E.4.2. Metoda Newtona592
E.4.3. Metoda Newtona dla układów równań594
E.4.4. Metoda siecznych597
E.4.5. Regula falsi i algorytm Illinois598
E.5. Algebraiczne zagadnienie własne602
E.6. Optymalizacja603
E.6.1. Minimalizacja funkcji jednej zmiennej603
E.6.2. Minimalizacja gładkiej funkcji wielu zmiennych604
F. Wizualizacja kształtu powierzchni 606
F.1. Funkcje kształtu i ich warstwice607
F.1.1. Własności warstwic607
F.1.2. Przekroje płaskie powierzchni608
F.1.3. Lambertowskie odbicie światła i izofoty609
F.1.4. Linie odblasku611
F.1.5. Krzywizny powierzchni615
F.2. Krzywe charakterystyczne616
F.2.1. Całkowanie krzywych charakterystycznych616
F.2.2. Warstwice i linie najszybszego spadku funkcji kształtu618
F.2.3. Linie krzywiznowe620
Literatura622
Skorowidz638

1.3.WłasnościwielomianówBernsteina

RozkładjedynkiidodatnioćwielomianówBernsteinajestwarunkiemkoniecz-

nymidostatecznymwspomnianejwczeniejwłasnościotoczkiwypukłejkrzy-

wychBéziera.Własnoćotoczkiwypukłejmajątakżewielomiany:

t∈[071]

⇒

min

pi≤

piB

i(t)≤max

pi.

i10

Symetria:

i(t)1Bn

n1i(11t).

(1.7)

(1.8)

Zpowyższegowzoruwynika,żejeliłamanakontrolnajestsymetrycznawzglę-

dempewnegopunktu,prostejlubpłaszczyzny,tokrzywaBézierateżwykazuje

tęsymetrię(rys.1.4).

Rysunek1.4.SymetrycznekrzyweBéziera

Pochodna:

i(t)1n(B

i11(t)1Bn11

n11

(t)).

(1.9)

Uwaga:DowielomianówBn

0iBn

nwzórtenstosujesiępoprzyjęciuumo-

wy(1.2).

Dladowodunajprociejjestpodstawić11t1siużyćwzoruwyrażającego

pochodnąfunkcjizłożonejwieluzmiennych.Wzór(1.9)zastosujemywp.1.6

i1.7doznalezieniapochodnychkrzywychBézieraizbadaniaichwłasnoci.

Ekstrema:Dlai117...7n11mamyBn

i(t)′10jeliBn11

i11(t)1Bn11

(t),

czylidalej(

n11

i11)(11t)1(

n11

i)tistądt1

n.Wtychpunktachwielomiany

Bernsteinaosiągająmaksima.MaksimawielomianówBn

0iBn

nnaodcinku[071]

występująodpowiedniowpunktach0i1.Wmodelowaniukrzywychoznacza

Brak wyników

Podstawy modelowania krzywych i powierzchni

Treść książki

Znajdź bibliotekę blisko siebie, i uzyskaj dostęp do ebooka w systemie IBUK Libra