Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
62
1.KRZYWEBÉZIERA
Korzystajączewzorów(1.14)i(1.15),możemysprawdzić,że
n
Σ
(t1i/n)2Bn
i(t)11
nt(11t).
i10
Dlat∈[071]jestt(11t)≤1
4,więc|b(t)|≤M
δ2
4n1M
1
4nδ2.Wystarczyzatem
przyjąćndostatecznieduże,takieabybyłoM
4nδ2<1
2ε(czylin>M
2εδ2)iwtedy
|f(t)1En(t)|<ε.✷
Wydajesię,żetwierdzenieaproksymacyjneWeierstrassaipodanywyżejjego
konstruktywnydowódwpełnirozwiązująproblemprzybliżaniadanegokształtu
zdowolnądokładnocią.Niestety,niezupełnie:
1.Wybierającwielomianstopniaconajwyżejn,innyniżEn,możnanaogółosiąg-
nąćlepszewyniki(odsyłamdorozdziałuoaproksymacjijednostajnejwdowol-
nympodręcznikumetodnumerycznych).
2.Wynikającezdowoduoszacowaniestopniawielomianu,zapewniającegobłąd
mniejszyniżdaneε,jestbeznadziejniepesymistyczne.
Przykład0Dlazilustrowaniapowyższychuwagrozważmyfunkcjęf(t)1t2.
Zbłędemrównym0możemytęfunkcjęprzybliżyćwielomianemstopnia2.
1.E2(t)10B
0(t)+1
2
4B2
1(t)+1B2
2(t)11
2t2+1
2t.BłądprzybliżeniafprzezE2
naodcinku[071]jestrówny1
8.
2.MamyM11oraz|f′(t)|1|2t|≤2dlat∈[071],czylidladanegoεmożemy
przyjąćδ≤ε
4.Gwarancję,żebłądprzybliżeniafprzezEnjestmniejszyniż
ε11
8,otrzymujemydlan>M
2εδ214096.
