Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
58
1.KRZYWEBÉZIERA
Przypućmy,żekrzywacjestformądiagonalnąstopnia2krzywej!stopnian≥2
wpunkciet(zobaczp.1.9.3).JesttowięckrzywaBézierastopnia2(ijejkrzywiznę
umiemyobliczyć),jejpunktykontrolnec01!
(n12)
0
,c11!
(n12)
1
orazc21!
(n12)
2
otrzymamywn1drugimkrokualgorytmudeCasteljau(rys.1.21b)ikrzywizny
krzywych!icpozostająwstałejproporcji,zależnejtylkoodstopniakrzywej!.
Napodstawiewzoru(1.33)możemyobliczyć(ćwiczenie)
K!(t)1
n11
n
det[∆!
"∆!
0
(n12)
0
(n11)
7∆!
"3
2
1
(n12)
]
.
(1.35)
Wpodobnysposób,napodstawiewzorów(C.6)i(1.33),możemyznaleźćwzór
umożliwiającyobliczeniekrzywiznykrzywejBéziera!stopnian≥2położonej
wprzestrzenitrójwymiarowej,zapomocąpunktówotrzymanychwprzedostatnich
dwóchkrokachalgorytmudeCasteljau:
K!(t)1
n11
n
"∆!
0
(n12)
"∆!
∧∆!
(n11)
0
"3
1
(n12)
2
"2
.
(1.36)
Wartoprzyokazjiodnotować,żejelipunkty!
0
(n12)
,!
1
(n12)
i!
(n12)
2
niesą
współliniowe,towyznaczająpłaszczyznęcilestyczną,punktyza!
0
(n11)
i!
(n11)
1
wyznaczająprostąstycznądokrzywej!wpunkciet.
AbyobliczyćskręceniekrzywejBéziera,możemyposłużyćsiębezporednio
wzorem(C.7)lubotrzymanymnajegopodstawiewzorem,doktóregobędziemy
podstawiaćpunktykontrolne.Sposóbjegowyprowadzaniajesttakisamjakznale-
zionychwyżejwzorówopisującychkrzywiznę,choćrachunkisąbardziejżmudne.
PunktemwyjciajestkrzywaBézieratrzeciegostopnia,c(t)1Σ
3
i10ciB
i(t)
3
(rys.1.22a),którejpochodnerzędu1,2i3możemyobliczyćnapodstawiewzo-
ru(1.28).Możemysprawdzić(ćwiczeniedlaosóbpracowitychinieufnych),żedla
każdegot
det[c′(t)7c′′(t)7c′′′(t)]1108det[∆c
07∆c17∆c2].
Wyznacznikmacierzy[∆c07∆c17∆c2]mawartoćbezwzględnąrównąobjętoci
równoległocianupokazanegonarysunku.Mianownikułamkawewzorze(C.7)
otrzymamy,obliczając
c′(t)∧c′′(t)118∆c(1)
0
∧∆c
(1)
1.
Stądskręceniekrzywejcdlaustalonegotmożemyobliczyćnapodstawieróżnic
punktówkontrolnychc07c17c27c3ipunktówc
07c
(1)
17c
(1)
(1)
2
otrzymanychwpierw-
